Найдите все натуральные числа n -такие, что найдётся простое число p , для которого выполняется равенство 6n²+p+6=n(2p+15)

Для решения уравнения \( 6n^2 + p + 6 = n(2p + 15) \) сначала упростим его.

Перепишем уравнение так:

\[ 6n^2 + p + 6 = 2np + 15n \]

Теперь перенесём все выражения с \( p \) в одну сторону, а остальные в другую:

\[ 6n^2 + 6 - 15n = 2np - p \]

Это можно переписать как:

\[ 6n^2 + 6 - 15n = p(2n - 1) \]

Отсюда можно выразить \( p \):

\[ p = \frac{6n^2 + 6 - 15n}{2n - 1} \]

Теперь, чтобы \( p \) было простым числом, числитель \( 6n^2 + 6 - 15n \) должен быть делим на \( 2n - 1 \). Проанализируем правило делимости:

Для этого рассмотрим некоторые натуральные числа \( n \):

1. При \( n = 1 \): \[ p = \frac{6(1)^2 + 6 - 15(1)}{2(1) - 1} = \frac{6 + 6 - 15}{1} = -3 \quad (\text{не натуральное}) \]

2. При \( n = 2 \): \[ p = \frac{6(2)^2 + 6 - 15(2)}{2(2) - 1} = \frac{24 + 6 - 30}{3} = \frac{0}{3} = 0 \quad (\text{не натуральное}) \]

3. При \( n = 3 \): \[ p = \frac{6(3)^2 + 6 - 15(3)}{2(3) - 1} = \frac{54 + 6 - 45}{5} = \frac{15}{5} = 3 \quad (\text{простое число}) \]

4. При \( n = 4 \): \[ p = \frac{6(4)^2 + 6 - 15(4)}{2(4) - 1} = \frac{96 + 6 - 60}{7} = \frac{42}{7} = 6 \quad (\text{не простое}) \]

5. При \( n = 5 \): \[ p = \frac{6(5)^2 + 6 - 15(5)}{2(5) - 1} = \frac{150 + 6 - 75}{9} = \frac{81}{9} = 9 \quad (\text{не простое}) \]

6. При \( n = 6 \): \[ p = \frac{6(6)^2 + 6 - 15(6)}{2(6) - 1} = \frac{216 + 6 - 90}{11} = \frac{132}{11} = 12 \quad (\text{не простое}) \]

7. При \( n = 7 \): \[ p = \frac{6(7)^2 + 6 - 15(7)}{2(7) - 1} = \frac{294 + 6 - 105}{13} = \frac{195}{13} = 15 \quad (\text{не простое}) \]

Проводя подобные вычисления, можно найти все натуральные числа \( n \) до определённого предела и проверить, при каких значениях \( p \) оказывается простым числом.

Итак, найденное решение: единственное натуральное число \( n \), для которого существует простое число \( p \), это \( n = 3 \).