Дан равнобедреный треугольник АВС, с основным ВС, у которого АВ+АС=18, ‹С=75°, Найдите площадь ∆АВС

Для нахождения площади равнобедренного треугольника \( \Delta ABC \) с основанием \( BC \), где \( AB = AC \) и угол \( \angle C = 75^\circ \), можем воспользоваться следующими шагами.

1. Обозначим стороны: Пусть \( AB = AC = x \). Тогда по условию задачи имеем: \[ x + x = 18 \implies 2x = 18 \implies x = 9. \] Таким образом, \( AB = AC = 9 \).

2. Найдём основание \( BC \): Для нахождения длины основания \( BC \) воспользуемся теоремой косинусов. Нам необходимо выразить длину стороны \( BC \) через известные стороны и угол: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle C). \] Подставляем известные значения: \[ BC^2 = 9^2 + 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot \cos(75^\circ). \] \[ BC^2 = 81 + 81 - 162 \cdot \cos(75^\circ). \] Зная, что \( \cos(75^\circ) \approx 0.2588 \): \[ BC^2 = 162 - 162 \cdot 0.2588 \approx 162 - 41.920 = 120.08. \] Таким образом: \[ BC \approx \sqrt{120.08} \approx 10.95. \]

3. Найдём площадь треугольника: Площадь \( S \) треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C), \] где \( a = AB, b = AC = 9 \), и \( C = \angle C = 75^\circ \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 \cdot \sin(75^\circ). \] Зная, что \( \sin(75^\circ) \approx 0.9659 \): \[ S \approx \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 \cdot 0.9659 = \frac{81 \cdot 0.9659}{2} \approx 39.140. \]

Таким образом, площадь треугольника \( \Delta ABC \) составляет примерно 39.14 квадратных единиц.