На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 69. Васявычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 64. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 87 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Обозначим количество чисел на доске за \( n \), а сами числа за \( x_1, x_2, \ldots, x_n \).

Итак, мы имеем три уравнения на основе действий Коли, Васи и Андрея:

1. Коля вычел 1 из каждого числа, и сумма модулей получившихся чисел равна 69: \[ \sum_{i=1}^{n} |x_i - 1| = 69. \]

2. Васи вычел 2 из каждого числа, и сумма модулей получившихся чисел равна 64: \[ \sum_{i=1}^{n} |x_i - 2| = 64. \]

3. Андрей вычел 3 из каждого числа, и сумма модулей получившихся чисел равна 87: \[ \sum_{i=1}^{n} |x_i - 3| = 87. \]

Для решения этой задачи, давайте разобьём числа \( x_i \) на три группы по их значению:

• \( a \) — количество чисел, которые равны 0,
• \( b \) — количество чисел, которые равны 1,
• \( c \) — количество чисел, которые равны 2,
• \( d \) — количество чисел, которые равны 3,
• \( e \) — количество чисел, которые больше 3.

Теперь определим каждую из сумм:

1. Коля: \[ \sum_{i=1}^{n} |x_i - 1| = a|0 - 1| + b|1 - 1| + c|2 - 1| + d|3 - 1| + e|x_i - 1| = a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 1 + d \cdot 2 + e \cdot (x - 1) \] \[ = a + c + 2d + \sum_{i=1}^{e} (x_i - 1) = 69. \]

2. Вася: \[ \sum_{i=1}^{n} |x_i - 2| = a|0 - 2| + b|1 - 2| + c|2 - 2| + d|3 - 2| + e|x_i - 2| = a \cdot 2 + b \cdot 1 + c \cdot 0 + d \cdot 1 + e \cdot (x - 2) \] \[ = 2a + b + d + \sum_{i=1}^{e} (x_i - 2) = 64. \]

3. Андрей: \[ \sum_{i=1}^{n} |x_i - 3| = a|0 - 3| + b|1 - 3| + c|2 - 3| + d|3 - 3| + e|x_i - 3| = a \cdot 3 + b \cdot 2 + c \cdot 1 + d \cdot 0 + e \cdot (x - 3) \] \[ = 3a + 2b + c + \sum_{i=1}^{e} (x_i - 3) = 87. \]

Теперь выразим систему уравнений:

1. \( a + c + 2d + \sum (e) = 69 \)
2. \( 2a + b + d + \sum (e) = 64 \)
3. \( 3a + 2b + c + \sum (e) = 87 \)

Каждую сумму из первой поставим равной новой переменной \( S \): \[ S = \sum (e). \] Таким образом:

1. \( a + c + 2d + S = 69 \)
2. \( 2a + b + d + S = 64 \)
3. \( 3a + 2b + c + S = 87 \)

Вычтем уравнения:

• Из второго уравнения вычтем первое: \[ (2a + b + d + S) - (a + c + 2d + S) = -5 \implies a + b - c - d = -5 \quad (1) \]

• Из третьего вычтем второе: \[ (3a + 2b + c + S) - (2a + b + d + S) = 23 \implies a + b + c - d = 23 \quad (2) \]

Теперь решим систему (1) и (2):

Из (1): \( b = c + d - 5 \). Подставим это в (2): \[ a + (c + d - 5) + c - d = 23 \implies a + 2c - 5 = 23 \implies a + 2c = 28 \quad (3). \]

Теперь, у нас есть выражение для \( a \) через \( c \): \[ a = 28 - 2c. \]

Теперь используя \( a \) в первом уравнении: \[ (28 - 2c) + c + 2d + S = 69. \] Итак, \[ 28 - c + 2d + S = 69 \implies 2d + S = 41 + c \quad (4). \]

Теперь подставим \( 3a + 2b + c + S = 87 \): \[ 3(28 - 2c) + 2(c + d - 5) + c + S = 87. \] Разложим и упростим: \[ 84 - 6c + 2d - 10 + c + S = 87 \implies S - 5c + 2d + 74 = 87 \implies S - 5c + 2d = 13 \quad (5). \]

Теперь мы имеем две системы:

1. \( 2d + S = 41 + c \)
2. \( S - 5c + 2d = 13 \)

Подставим \( S = 13 + 5c - 2d \) в первое: \[ 2d + 13 + 5c - 2d = 41 + c \implies 5c - c = 41 - 13 \implies 4c = 28 \implies c = 7. \]

Теперь подставим \( c \) обратно: \[ d + S = 41 + 7 - 2d \implies S = 41 + 7 - 2d - d = 48 - 3d. \]

Теперь найдём \( a \): \[ a = 28 - 2\cdot7 = 14. \]

Теперь найдём \( b \): \[ b = 7 + d - 5. \] Пока не нашли \( d \). Возвращаемся к \( S = 48 - 3d \).

Подставим \( d = 0 \) или \( 1 \): допустим \( d = 6 \): \[ S = 30 = 6. \] Откуда ноль весит неопределенность, устанавливаем два: \[ d = 11. \]

Считаем: \( a = 14, b = 2, c = 7, d = 0 \).

Таким образом, ответ на вопрос: На доске написано 7 двоек.