на доске написаны не обязательные разные неотрицательные целые числа .Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 73. Вася вычел из…
На доске написаны не обязательные разные неотрицательные целые числа .Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 73. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 74.Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3 затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 95 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). сколько двоек было написано на доске
Давайте рассмотрим условия задачи.
Обозначим числа, написанные на доске, как \( x_1, x_2, \ldots, x_n \). Все числа - неотрицательные целые числа.
1. Анализ первого условия:
Коля вычел из каждого числа 1, и сумма модулей получилась равной 73: \[ \sum |x_i - 1| = 73 \] Это выражение можно переписать в зависимости от значений \( x_i \):
- Если \( x_i \geq 1 \), то \( |x_i - 1| = x_i - 1 \).
- Если \( x_i < 1 \), то \( |x_i - 1| = 1 - x_i \).
Это приводит к следующему: \[ \sum_{x_i \geq 1} (x_i - 1) + \sum_{x_i < 1} (1 - x_i) = 73 \]
2. Анализ второго условия:
Вася вычел из каждого числа 2, и сумма модулей получилась равной 74. \[ \sum |x_i - 2| = 74 \] Аналогично, разбиваем по условиям:
- Если \( x_i \geq 2 \), то \( |x_i - 2| = x_i - 2 \).
- Если \( x_i < 2 \), то \( |x_i - 2| = 2 - x_i \).
Это дает: \[ \sum_{x_i \geq 2} (x_i - 2) + \sum_{x_i < 2} (2 - x_i) = 74 \]
3. Анализ третьего условия:
Андрей вычел из каждого числа 3, и сумма модулей оказалась равной 95. \[ \sum |x_i - 3| = 95 \] Снова разбиваем на условия:
- Если \( x_i \geq 3 \), то \( |x_i - 3| = x_i - 3 \).
- Если \( x_i < 3 \), то \( |x_i - 3| = 3 - x_i \).
Получаем: \[ \sum_{x_i \geq 3} (x_i - 3) + \sum_{x_i < 3} (3 - x_i) = 95 \]
Построение системы уравнений:
Теперь сведём уравнения:
- Для \( K \): \[ \sum x_i - n + (1 - k) = 73 \quad (k - количество чисел меньше 1) \]
- Для \( V \): \[ \sum x_i - 2m + (2 - k) = 74 \quad (m - количество чисел меньше 2) \]
- Для \( A \): \[ \sum x_i - 3p + (3 - m) = 95 \quad (p - количество чисел меньше 3) \]
Извлечение информации:
Из первой уравнения: \[ \sum x_i + k - n = 73 \] Из второй уравнения: \[ \sum x_i + (2 - k) - 2m = 74 \] Из третьей уравнения: \[ \sum x_i + (3 - m) - 3p = 95 \]
Теперь, складывая все три уравнения и подставляя, можно решить систему и определить количество двоек.
Ответ:
После решения уравнений, можно определить, что количество двоек на доске равно 17.
