В городе 2345 жителей. В первый день один из жителей города узнал новость. Во второй день он сообщил новость двум другим жителям. И так происходило каждый день каждый человек, который знал новость, за день сообщал её двум другим. На №-й день все жители города узнали новость. Какое наименьшее значение может принимать №?
Для решения этой задачи давайте рассмотрим, как распространяется новость и сколько людей узнает её каждый день.
- В первый день один человек узнал новость.
- Во второй день он передает новость двум другим людям, таким образом, на второй день уже 1 + 2 = 3 человека знают новость.
- На третий день каждый из тех, кто знает новость (а это 3 человека), сообщает её ещё двум другим. Таким образом, 3 человека сообщают новость 6 новым людям, и общее количество знающих становится 3 + 6 = 9.
- На четвёртый день 9 человек сообщают новость ещё 2 другим, что дает 9 × 2 = 18 новых людей. Теперь уже знают 9 + 18 = 27 человек.
Можно заметить, что количество людей, узнавших новость, увеличивается по формуле:
- На каждом дне количество людей, которые сообщают новость, удваивается.
Обозначим количество жителей на n-й день как P(n). Тогда мы можем выразить это так:
- P(1) = 1
- P(2) = P(1) + 2 = 3
- P(3) = P(2) + 6 = 9
- P(4) = P(3) + 18 = 27
- и так далее.
Формально: P(n) = P(n-1) + 2 * P(n-1)
Для нахождения общего числа людей, знающих новость, на каждом дне, можно заметить, что это является степенной последовательностью. Для того чтобы все 2345 жителей города узнали новость, надо проанализировать, когда P(n) становится равным или больше 2345.
Итак, давайте посчитаем количество людей, которые должны знать новость:
- На 1-й день: 1
- На 2-й день: 3
- На 3-й день: 9
- На 4-й день: 27
- На 5-й день: 81
- На 6-й день: 243
- На 7-й день: 729
- На 8-й день: 2187 (это больше 2345)
Таким образом, наименьшее значение n, при котором все жители узнали новость, равно 8.
Так что, ответ: наименьшее значение № равно 8.
