На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 72, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего…

Для решения этой задачи сначала определим размер большего шестиугольника на основе площади меньшего.

Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2, \] где \( S \) — площадь, а \( a \) — длина стороны шестиугольника.

Из условия мы знаем, что площадь меньшего шестиугольника равна 72. Подставим это значение в формулу:

\[ 72 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2. \]

Теперь решим это уравнение для \( a^2 \):

\[ a^2 = \frac{72 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{144}{3\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}}. \]

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

\[ a^2 = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3}. \]

Теперь найдем длину стороны меньшего шестиугольника:

\[ a = \sqrt{16\sqrt{3}} = 4 \cdot 3^{1/4}. \]

Теперь давайте найдем площадь большего шестиугольника. Из условия сказано, что наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника равна \(2a\) (где \(a\) — длина стороны). Для меньшего шестиугольника это:

\[ d_{\text{меньш}} = 2a = 2 \cdot (4 \cdot 3^{1/4}) = 8 \cdot 3^{1/4}. \]

Рассмотрим большую фигуру. Так как наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с \(8 \cdot 3^{1/4}\), длина стороны большего шестиугольника обозначим как \(b\). Для площади большого шестиугольника также применим формулу:

\[ d_{\text{больш}} = 2b. \]

Таким образом, мы получаем:

\[ 2b = 8 \cdot 3^{1/4} \implies b = 4 \cdot 3^{1/4}. \]

Теперь найдем площадь большего шестиугольника:

\[ S_{\text{больш}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} b^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} (4 \cdot 3^{1/4})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 \cdot 3^{1/2} = \frac{48\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}. \]

Теперь мы знаем площадь обоих шестиугольников:

• Площадь меньшего: \(72\).
• Площадь большего: \(24\sqrt{3}\).

Теперь давайте определим площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников. Площадь пересечения двух правильных шестиугольников может быть выражена как:

\[ S_{\text{пересечения}} = S_{\text{меньшего}} + S_{\text{большего}} - S_{\text{меньшего}} - S_{\text{большого}}. \]

При этом нужно учесть, что площадь пересечения будет равна площади меньшего шестиугольника, потому что больший полностью охватывает меньший.

Таким образом, площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников, равна:

\[ S_{\text{пересечения}} = 72. \]

Ответ: площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения двух шестиугольников, равна \( 72 \).