На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 72, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника. Найдите площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников.
Чтобы решить эту задачу, начнём с анализа данных о шестиугольниках.
Площадь меньшего шестиугольника: Известно, что площадь меньшего шестиугольника равна 72. Площадь правильного шестиугольника можно выразить через длину стороны \( a \) по формуле: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] Подставляя площадь, можно найти длину стороны меньшего шестиугольника.
\[ 72 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] Умножим обе стороны на \( \frac{2}{3\sqrt{3}} \): \[ a^2 = \frac{72 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{144}{3\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}} = 16\sqrt{3} \] Значит, \[ a = \sqrt{16\sqrt{3}} \]
Длина стороны меньшего шестиугольника: \[ a = 4 \cdot (3^{1/4}) = 4\sqrt[4]{3} \]
Наибольшая диагональ меньшего шестиугольника: Она равна двум длинам стороны: \[ d_{min} = 2a = 2 \cdot 4\sqrt[4]{3} = 8\sqrt[4]{3} \]
Наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с этой. Теперь, чтобы найти связь между сторонами большего шестиугольника и длиной его диагонали, используем формулу для наибольшей диагонали правильного шестиугольника, которая равна \( 2a \).
Обозначим длину стороны большего шестиугольника через \( b \). Тогда по аналогии: \[ 2b \geq 8\sqrt[4]{3} \quad \Rightarrow \quad b \geq 4\sqrt[4]{3} \]
Площадь большего шестиугольника: Построим его площадь также по аналогичной формуле: \[ S_{большого} = \frac{3\sqrt{3}}{2} b^2 \]
Теперь найдем пересечение двух шестиугольников. Поскольку наименьшая диагональ большего совпадает с наибольшей меньшего, то пересечение будет равно площади меньшего шестиугольника, так как меньшее полностью помещается в большее.
Таким образом, площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников, равна: \[ \text{Площадь пересечения} = 72 \]
В результате, ответ: 72.
