На дочке нарисованы два правильных шестиугольника.Меньший из них имеет площадь 54, а наименьшее диагональ большого шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника.Найдите площадь фигуры, обоазовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников

Для решения этой задачи сначала найдем радиусы окружностей, описывающих оба правильных шестиугольника, а затем воспользуемся этой информацией, чтобы найти площадь пересечения.

1. Нахождение радиуса меньшего шестиугольника:
   Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} r^2, \] где \( r \) — радиус окружности, описывающей шестиугольник.

   Зная, что площадь меньшего шестиугольника равно 54, подставим в формулу: \[ 54 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} r^2. \] Упростим уравнение: \[ r^2 = \frac{54 \times 2}{3 \sqrt{3}} = \frac{108}{3 \sqrt{3}} = \frac{36 \sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}. \] Следовательно, радиус \( r \) меньшего шестиугольника: \[ r = \sqrt{12\sqrt{3}} = 2\sqrt[4]{3}. \]

2. Нахождение радиуса большего шестиугольника:
   Наименьшая диагональ большого шестиугольника равна наибольшей диагонали меньшего шестиугольника. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника равна удвоенному радиусу: \[ D = 2r. \] Подставим радиус меньшего шестиугольника: \[ D_{\text{меньшего}} = 2 \times 2\sqrt[4]{3} = 4\sqrt[4]{3}. \] Теперь эта диагональ равна наименьшей диагонали большого шестиугольника, которая также равна \( D_{\text{большого}} = 2R \), где \( R \) — радиус большого шестиугольника: \[ 2R = 4\sqrt[4]{3} \Rightarrow R = 2\sqrt[4]{3}. \]

3. Площадь большего шестиугольника:
   Теперь можем найти площадь большого шестиугольника по аналогичной формуле: \[ S_{\text{большого}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} R^2. \] Подставляем значение радиуса: \[ R^2 = (2\sqrt[4]{3})^2 = 4 \cdot \sqrt{3}. \] Следовательно: \[ S_{\text{большого}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 4 \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18. \]

4. Площадь пересечения:
   Поскольку оба шестиугольника правильные и расположены так, что наименьшая диагональ большого совпадает с наибольшей диагональю меньшего, пересечение будет происходить в равных частях. Следовательно, площадь пересечения будет равна площади меньшего шестиугольника, которая составляет 54.

Таким образом, площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников, равна 54.