На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 69. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 64. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 87 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Давайте обозначим количество чисел на доске как \( n \), а сами числа как \( x_1, x_2, \ldots, x_n \).

1. Из условия Коли, после вычитания 1 из каждого числа, сумма модулей равна 69: \[ |x_1 - 1| + |x_2 - 1| + \ldots + |x_n - 1| = 69. \]

2. Из условия Васи, после вычитания 2, сумма модулей равна 64: \[ |x_1 - 2| + |x_2 - 2| + \ldots + |x_n - 2| = 64. \]

3. Из условия Андрея, после вычитания 3, сумма модулей равна 87: \[ |x_1 - 3| + |x_2 - 3| + \ldots + |x_n - 3| = 87. \]

Теперь давайте проанализируем, что происходит с каждой из этих сумм.

Сначала перепишем модульные функции в зависимости от значений \( x_i \):

• Если \( x_i \geq 1 \), то \( |x_i - 1| = x_i - 1 \),
• Если \( x_i < 1 \), то \( |x_i - 1| = 1 - x_i \).

Аналогично для других модулей.

Давайте составим систему уравнений:

Из первого уравнения: \[ \sum |x_i - 1| = 69. \]

Из второго: \[ \sum |x_i - 2| = 64. \]

Из третьего: \[ \sum |x_i - 3| = 87. \]

Теперь заметим, что если \( S_1, S_2, S_3 \) - это суммы, то:

\[ S_2 = S_1 - n + 64, \quad S_3 = S_2 - n + 87. \]

Подставим \( S_2 \) в уравнение для \( S_3 \): \[ 87 = (69 - n + 64) \Rightarrow 87 = 133 - n \Rightarrow n = 46. \]

Теперь, подставив \( n \) в первое уравнение: \[ S_1 = 69 = \sum |x_i - 1| = 69. \]

Это указывает на то, что у нас много различных чисел. Чтобы получить количество двоек \( x_i \):

С точки зрения условий Vasya и Andrew, разница в 3 между модулем (87 - 64 = 23) делится на количество так, чтобы результаты можно было сопоставить с количеством чисел.

Принимая во внимание, что любое \( x_i = 2 \) дает 0 при вычитании 2, и остаётся 1 при вычитании 1 и 3 при вычитании 3:

По имеющимся данным можно легко вывести:

1. Сколько двоек на доске \( x_i = 2 \), что окончательное уравнение даёт подсчет всех вычитаний модуля.
2. Так как ни одно из условий не изменяет другие числа, общий подход каждых \( x_i \) подсчитывает каждую двойку.

Учитывая точность и последовательность вычитаний, можно подсчитать, что на доске находилось:

Ответ: 23 двоики.