Расстояние между двумя фокусами эллипса равно 4√2, а отношение большой и малой полуосей равно 3. Напишите уравнение этого эллипса в системе координат Оху, где О - середина отрезка, соединяющего фокусы, лежащие на оси Ох
Чтобы написать уравнение эллипса, сначала определим параметры, исходя из ваших данных.
Расстояние между фокусами: по условию оно равно \( 4\sqrt{2} \). Это означает, что расстояние от центра эллипса до каждого фокуса \( c \) будет равно: \[ c = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}. \]
Отношение больших и малых полуосей: обозначим большую полуось \( a \) и малую полуось \( b \). Дано, что \( \frac{a}{b} = 3 \). Таким образом, можно выразить \( a \) через \( b \): \[ a = 3b. \]
Связь между полуосями и фокусом: для эллипса выполняется соотношение: \[ c^2 = a^2 - b^2. \] Подставим \( a = 3b \): \[ c^2 = (3b)^2 - b^2 = 9b^2 - b^2 = 8b^2. \] Теперь подставим значение \( c \): \[ (2\sqrt{2})^2 = 8b^2. \] Это ведет к уравнению: \[ 8 = 8b^2, \] откуда получаем: \[ b^2 = 1 \implies b = 1. \]
Нахождение \( a \): теперь подставим \( b \) в выражение для \( a \): \[ a = 3b = 3 \cdot 1 = 3. \]
Составление уравнения эллипса: теперь мы знаем, что \( a = 3 \) и \( b = 1 \). Уравнение эллипса, центрированного в точке \( O(0, 0) \) и расположенного вдоль оси \( x \), записывается в следующем виде: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. \] Подставляем значения \( a \) и \( b \): \[ \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1, \] что дает уравнение: \[ \frac{x^2}{9} + y^2 = 1. \]
Таким образом, уравнение данного эллипса в системе координат \( Oxy \) будет: \[ \frac{x^2}{9} + y^2 = 1. \]
