Дана окружность ω с центром O. Точки M и N соответственно середины радиусов OA и OB окружности ω. На окружности ω выбраны точки E и F так, что хорда EF проходит через точки M и N.…

Чтобы решить эту задачу, давайте внимательно изучим данную информацию и используем некоторые геометрические свойства окружности.

1. Обозначения:

   • Пусть радиус окружности \(\omega\) равен \(R\).
   • Поскольку точки \(M\) и \(N\) являются серединами радиусов \(OA\) и \(OB\), то \(OM = ON = \frac{R}{2}\).

2. Хорда:

   • Хорда \(EF\) проходит через точки \(M\) и \(N\), значит \(EF\) является отрезком, соединяющим точки на окружности так, что прямая, содержащая этот отрезок, проходит через середины радиусов \(OA\) и \(OB\).

3. Отношение:

   • Дано отношение \(EF : MN = 8\). Это значит, что длина хорды \(EF\) в \(8\) раз больше длины отрезка \(MN\).

4. Длина отрезка \(MN\):

   • Отрезок \(MN\) представляет собой отрезок, соединяющий серединные точки радиусов, и его длина может быть найдена с использованием теоремы о серединах. Для окружности это можно выразить через радиус \(R\): \[ MN = \sqrt{OM^2 + ON^2} = \sqrt{\left(\frac{R}{2}\right)^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2} = \sqrt{2\left(\frac{R}{2}\right)^2} = \frac{R}{\sqrt{2}}. \]

5. Длина хорды \(EF\):

   • Используя данное отношение, можем записать: \[ EF = 8 \cdot MN = 8 \cdot \frac{R}{\sqrt{2}} = \frac{8R}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}R. \]

6. Отношение радиуса \(R\) к длине хорды \(EF\):

   • Теперь мы можем найти отношение \( \frac{R}{EF} \): \[ \frac{R}{EF} = \frac{R}{4\sqrt{2}R} = \frac{1}{4\sqrt{2}}. \]

7. Квадрат этого отношения:

   • Теперь найдем квадрат этого отношения: \[ \left( \frac{R}{EF} \right)^2 = \left( \frac{1}{4\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{16 \cdot 2} = \frac{1}{32}. \]

Ответ: \(\frac{1}{32}\).