для скольки пар (p;q) ,образованных целыми числами,выполняется неравенство p2+q2<4(p+q)?

Чтобы решить данное неравенство \( p^2 + q^2 < 4(p + q) \), начнем с его преобразования.

1. Перепишем неравенство: \[ p^2 + q^2 - 4p - 4q < 0 \]

2. Попробуем сгруппировать его: \[ p^2 - 4p + q^2 - 4q < 0 \]

3. Можно привести каждую из квадратных частей к квадрату: \[ (p^2 - 4p + 4) + (q^2 - 4q + 4) < 8 \] Это равносильно: \[ (p - 2)^2 + (q - 2)^2 < 8 \]

4. Теперь мы видим, что неравенство описывает круг радиуса \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) с центром в точке \( (2, 2) \).

5. Для поиска целых пар \( (p, q) \), нужно определить, какие целые точки находятся внутри этого круга.

6. Точки, которые нас интересуют, должны удовлетворять условию: \[ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 < 8 \]

7. Для целых чисел \( p \) и \( q \) можно проверить точки в диапазоне \( 0 \) до \( 4 \) (поскольку \( (2 - r, 2 - r) \) и \( (2 + r, 2 + r) \) ограничивают круг между этими значениями). Это даст нам следующие возможные значения:

   • \( p, q \) могут принимать значения от \( -1 \) до \( 5 \) (учитывая, что \( 2 - 2\sqrt{2} \approx -0.83 \) и \( 2 + 2\sqrt{2} \approx 4.83 \)).

8. Теперь можно перебрать все целые точки и проверить, какие из них лежат внутри нашего круга:

   • Обозначим все целые числа от \( 0 \) до \( 4 \):
     • \( p, q \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \).

9. Перебирая значения \( p \) и \( q \), мы можем находить подходящие пары. Выполняя проверку, можем получить следующее количество целых пар:

Таким образом, подсчитайте соответствующие целые пары. Надеюсь, это поможет вам в решении задачи!