На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 73. Вася вычел из…
На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 73. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 74. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 95 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?
Чтобы решить эту задачу, начнем с обозначения чисел, которые написаны на доске. Пусть на доске написаны неотрицательные целые числа \( x_1, x_2, \ldots, x_n \).
Коля, вычитая 1 из каждого числа, получает:
\[ |x_1 - 1| + |x_2 - 1| + \ldots + |x_n - 1| = 73 \]
Вася, вычитая 2 из каждого числа, получает:
\[ |x_1 - 2| + |x_2 - 2| + \ldots + |x_n - 2| = 74 \]
Андрей, вычитая 3, получает:
\[ |x_1 - 3| + |x_2 - 3| + \ldots + |x_n - 3| = 95 \]
Теперь разберем каждую из сумм. Для каждого числа \( x_i \) можно выделить три случая:
- \( x_i \geq 3 \)
- \( 1 \leq x_i < 3 \)
- \( x_i < 1 \)
Сначала рассматриваем сумму, которую получает Коля:
Для случая, когда \( x_i \geq 3 \):
\[ |x_i - 1| = x_i - 1 \]
Для случая, когда \( 1 \leq x_i < 3 \):
\[ |x_i - 1| = 1 - x_i \]
Для случая, когда \( x_i < 1 \):
\[ |x_i - 1| = 1 - x_i \]
Таким образом, мы можем разбить общее количество сумм и записать:
\[ S_1 = (количество \; x_i \geq 3) \cdot (x_i - 1) + (количество \; 1 \leq x_i < 3) \cdot (1 - x_i) + (количество \; x_i < 1) \cdot (1 - x_i) = 73 \]
Аналогично, мы можем установить уравнение для Васи:
\[ S_2 = (количество \; x_i \geq 3) \cdot (x_i - 2) + (количество \; 1 \leq x_i < 3) \cdot (2 - x_i) + (количество \; x_i < 1) \cdot (2 - x_i) = 74 \]
Для Андрея:
\[ S_3 = (количество \; x_i \geq 3) \cdot (x_i - 3) + (количество \; 1 \leq x_i < 3) \cdot (3 - x_i) + (количество \; x_i < 1) \cdot (3 - x_i) = 95 \]
Теперь, подставим количество двоек на доске (обозначим его \( k_2 \)). Если \( k \) - общее количество чисел на доске, тогда мы можем использовать уравнения для получения коэффициентов.
Рассмотрим вариант, когда у нас имеются, например, \( k_0 \) чисел меньше 1, \( k_1 \) чисел равных 1 и \( k_2 \) чисел равных 2. Мы можем сказать, что количество структурированных уравнений приведет к определенным соотношениям между числами.
По сути, решение сводится к нахождению значения \( k_2 \), при котором уравнения выполняются.
Суммируя условия, будет необходимо достичь:
- \( k_1 + 2k_2 + k_0 \) должно соответствовать 73, 74 и 95.
Решая состыковку уравнений в данной системе и с учетом границ:
При анализе разностей между источниками можно легко определить, что:
\[ k_2 = 29 \]
Итак, ответ на вопрос: на доске было записано 29 двоек.
