Реши уравнение: x-2/x+1-5/1-x=x²+27/x²-1
Для решения уравнения:
\[ \frac{x-2}{x+1} - \frac{5}{1-x} = \frac{x^2 + 27}{x^2 - 1} \]
начнем с приведения всех дробей к общему знаменателю.
Общий знаменатель для левой части уравнения будет равен \((x + 1)(1 - x)\). Поменяем знак в дроби \(\frac{5}{1-x}\) так, чтобы она соответствовала общему знаменателю:
\[ \frac{x-2}{x+1} + \frac{5}{x-1} \]
Теперь можно записать уравнение так:
\[ \frac{(x-2)(1-x) + 5(x+1)}{(x+1)(1-x)} = \frac{x^2 + 27}{x^2 - 1} \]
Теперь упростим числитель:
Для первой дроби: \[ (x - 2)(1 - x) = x - x^2 - 2 + 2x = -x^2 + 3x - 2 \]
Для второй дроби: \[ 5(x + 1) = 5x + 5 \]
Теперь сложим оба выражения:
\[ -x^2 + 3x - 2 + 5x + 5 = -x^2 + 8x + 3 \]
Таким образом, наша левая часть уравнения станет:
\[ \frac{-x^2 + 8x + 3}{(x+1)(1-x)} = \frac{x^2 + 27}{x^2 - 1} \]
Теперь можно переписать уравнение:
\[ (-x^2 + 8x + 3)(x^2 - 1) = (x^2 + 27)(-x^2 + 1) \]
Умножим обе стороны и упростим:
- Левую часть:
\[ -x^4 + 8x^3 + 3x^2 + x^2 - 8x = -x^4 + 8x^3 + 4x^2 - 8x - 3 \]
- Правую часть:
\[ -x^4 + 27x^2 + x^2 - 27 \]
Собираем уравнение:
\[ -3x^2 + 27 = 0 \]
Отсюда найдем \(x^2\):
\[ 3x^2 = 27 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 \ \text{или} \ x = -3 \]
Таким образом, решение уравнения:
\[ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3 \]
Важно проверить, не приводит ли подстановка этих значений к делению на ноль в исходном уравнении. Подстановив \(x = 3\) и \(x = -3\), убедимся, что дроби корректны. Все равно, это приведет к действительным решениям.
