неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 73. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил…
Неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 73. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 74. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 95 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?
Давайте обозначим неотрицательные целые числа, которые написаны на доске, как \( x_1, x_2, \ldots, x_n \).
Коля вычел из каждого числа 1 и сложил модули, получив сумму 73: \[ |x_1 - 1| + |x_2 - 1| + \ldots + |x_n - 1| = 73. \] Это выражение учитывает два случая: если \( x_i \geq 1 \), то \( |x_i - 1| = x_i - 1 \), а если \( x_i < 1 \), то \( |x_i - 1| = 1 - x_i \).
Вася вычел из каждого числа 2 и сложил модули, получив сумму 74: \[ |x_1 - 2| + |x_2 - 2| + \ldots + |x_n - 2| = 74. \]
Андрей вычел из каждого числа 3 и сложил модули, получив сумму 95: \[ |x_1 - 3| + |x_2 - 3| + \ldots + |x_n - 3| = 95. \]
Теперь давайте разберём каждое выражение.
Предположим, что \( k_1 \) — это количество чисел, которые меньше 1 (то есть равны 0), \( k_2 \) — количество чисел, которые равны 1, \( k_3 \) — количество чисел, которые равны 2, и \( k_4 \) — количество чисел, которые больше 2.
Таким образом, у нас есть следующее представление:
Для Коли: \[ k_1(1) + k_2(0) + k_3(1) + k_4(x_i - 1) = 73. \]
Для Васи: \[ k_1(2) + k_2(1) + k_3(0) + k_4(x_i - 2) = 74. \]
Для Андрея: \[ k_1(3) + k_2(2) + k_3(1) + k_4(x_i - 3) = 95. \]
Теперь решим систему уравнений.
Суммируем:
- Из первого уравнения: \( k_1 + k_3 + \sum k_4 = 73 \).
- Из второго уравнения: \( 2k_1 + k_2 + \sum k_4 - 2 \sum k_4 = 74 \).
- Из третьего уравнения: \( 3k_1 + 2k_2 + k_3 + \sum k_4 - 3 \sum k_4 = 95 \).
Разница между уравнениями Коли и Васи: \[ (2k_1 + k_2) - (k_1 + k_3) = 1 \implies k_1 + k_2 - k_3 = 1. \] Разница между уравнениями Васи и Андрея: \[ (3k_1 + 2k_2) - (2k_1 + k_2) = 21 \implies k_1 + k_2 = 21. \]
Теперь мы можем решить:
- Из \( k_1 + k_2 - k_3 = 1 \) при \( k_1 + k_2 = 21 \) находим \( k_3 = 20 \).
- Теперь знаем \( k_1 + k_2 = 21 \) и \( k_3 = 20 \).
Смотрим на значение \( k_4 \) (количество двоек):
- Если \( k_1 = 0 \), тогда \( k_2 = 21 \) и \( k_3 = 20 \) не может быть, следовательно.
Проверим другие варианты. Для конца: Пусть \( k_3 = 20 \) подтверждаем.
Таким образом, можно предположить, что на доске всего \( k_3 = 20 \).
Ответ: на доске было \( 20 \) двоек.
