В треугольнике ABC угол A = 45° C = 60°, BC = 7√6, Найдите AB Реши по теореме синусов

В данном треугольнике ABC мы знаем угол A, угол C и сторону BC. Мы можем использовать теорему синусов, которая гласит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла для всех сторон треугольника одинаково.

Сначала найдем угол B. Для этого используем свойство суммы углов треугольника:

\[ A + B + C = 180° \]

Подставляя известные значения:

\[ 45° + B + 60° = 180° \]

\[ B = 180° - 105° = 75° \]

Теперь у нас есть все углы: \( A = 45° \), \( B = 75° \), \( C = 60° \).

Теперь применим теорему синусов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Где:

• \( a = BC = 7\sqrt{6} \)
• \( b = AC \)
• \( c = AB \)

Мы хотим найти сторону \( AB \) (обозначим её как \( c \)). Также подставим значения для синусов:

\[ \frac{c}{\sin A} = \frac{a}{\sin C} \]

Подставляя известные значения:

\[ \frac{c}{\sin 45°} = \frac{7\sqrt{6}}{\sin 60°} \]

Синусы углов равны:

\[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь подставим эти значения в уравнение:

\[ \frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{7\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Упрощаем:

\[ c \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \]

\[ c\sqrt{2} = \frac{14\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \]

Для упрощения \( \frac{14\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 14\sqrt{\frac{6}{3}} = 14\sqrt{2} \):

\[ c\sqrt{2} = 14\sqrt{2} \]

Теперь делим обе стороны на \( \sqrt{2} \):

\[ c = 14 \]

Таким образом, длина стороны \( AB \) равна \( 14 \).