В городе 1234 жителя. В первый день семеро жителей города узнали новость. Во второй день каждый из них сообщил новость двум другим жителям. И так происходило каждый день: каждый…

Для решения этой задачи давайте рассмотрим, как распространяется новость в городе с каждым днём.

1. Первый день: 7 жителей узнали новость.
2. Второй день: Каждый из этих 7 жителей сообщает новость двум другим, что означает, что вы узнают 7 * 2 = 14 новых жителей.
3. Третий день: Теперь у нас 7 + 14 = 21 житель, и каждый из них снова сообщает новость двум другим. Это значит, что на третий день новость узнают 21 * 2 = 42 новых жителя.

Мы можем продолжить по этой логике, но удобнее использовать формулу. Если обозначить количество жителей, которые знают новость на n-й день, как \(S_n\), то можно заметить, что:

• На первом дне: \( S_1 = 7 \)

• На втором дне: \( S_2 = S_1 + 7 \times 2 = 7 + 14 = 21 \)

• На третьем дне: \( S_3 = S_2 + 21 \times 2 = 21 + 42 = 63 \)

И так далее.

Каждый новый житель, узнавший новость, сообщает её двум другим, и мы можем видеть, что это создает геометрическую прогрессию.

В общем случае, можем записать:

\[ S_n = 7 \times (2^{n-1}) \]

Теперь мы ищем такое \(N\), чтобы \(S_N \geq 1234\).

Решим неравенство:

\[ 7 \times (2^{N-1}) \geq 1234 \]

Делим обе стороны на 7:

\[ 2^{N-1} \geq \frac{1234}{7} \approx 176.2857 \]

Теперь найдём, при каком \(N\) это верно. Для этого подберем \(N\):

• \(N = 1:\) \(2^{0} = 1\)
• \(N = 2:\) \(2^{1} = 2\)
• \(N = 3:\) \(2^{2} = 4\)
• \(N = 4:\) \(2^{3} = 8\)
• \(N = 5:\) \(2^{4} = 16\)
• \(N = 6:\) \(2^{5} = 32\)
• \(N = 7:\) \(2^{6} = 64\)
• \(N = 8:\) \(2^{7} = 128\)
• \(N = 9:\) \(2^{8} = 256\)
• \(N = 10:\) \(2^{9} = 512\)
• \(N = 11:\) \(2^{10} = 1024\)
• \(N = 12:\) \(2^{11} = 2048\)

При \(N = 11\) получается 1024, а при \(N = 12\) — 2048, что больше 1234.

Таким образом, новость распространится среди всех жителей города на 12-й день. Значит, значение \(N\) равно 12.