в первую стпрояку записали число 1 во вторую строчку число 12.далее в строчку с номеро k записывали число получающееся приписыванием к предыдущей строчке числа k например,в12-ой…
В первую стпрояку записали число 1 во вторую строчку число 12.далее в строчку с номеро k записывали число получающееся приписыванием к предыдущей строчке числа k например,в12-ой строчке будет записано число123456789101112) всего на доску выписали 140строчек(тоесть 140чисел) сколкьо из них делятся на 3?
Для решения этой задачи, давайте сначала разберемся, как формируется каждое из чисел в строках.
В первой строке записано число 1, во второй – число 12, а в строке с номером k будет записано число, получаемое приписыванием к предыдущей строке числа k. Это означает, что в 3-й строке будет записано 123, в 4-й – 1234, и так далее.
Таким образом, в k-й строке будет записано число, представляющее собой последовательность всех чисел от 1 до k:
- В строке 1: 1
- В строке 2: 12
- В строке 3: 123
- В строке 4: 1234
- И так далее, до строки 140: 123456...140
Теперь, чтобы выяснить, сколько из этих чисел делятся на 3, необходимо выяснить, как их можно разделить на группы по признаку делимости на 3.
Для делимости числа на 3 достаточно знать сумму его цифр. Посмотрим на сумму цифр числа в k-й строке:
Сумма цифр числа в k-й строке будет равна: \[ 1 + 2 + ... + k = \frac{k(k + 1)}{2} \]
Теперь нам нужно определить, когда эта сумма делится на 3.
Сумма делится на 3, если: \[ \frac{k(k + 1)}{2} \mod 3 = 0 \]
Давайте рассмотрим разные варианты для k modulo 3:
- Если \( k \equiv 0 \mod 3 \), то \( k(k + 1) \equiv 0 \) и делится на 3, следовательно, делится и \(\frac{k(k + 1)}{2}\).
- Если \( k \equiv 1 \mod 3 \), то \( k + 1 \equiv 2 \mod 3 \), и \( k(k + 1) \equiv 2 \) на 3. Следовательно, \(\frac{k(k + 1)}{2}\) не делится на 3.
- Если \( k \equiv 2 \mod 3 \), то \( k(k + 1) \equiv 0\), и сумма делится на 3.
Таким образом, мы должны найти все значения k от 1 до 140, для которых \( k \equiv 0 \) или \( k \equiv 2 \mod 3 \).
Все числа от 1 до 140 делятся на 3 через последовательность 3, 6, 9,..., 138 (это 46 чисел, так как 140 ÷ 3 = 46).
Затем для \( k \equiv 2 \mod 3 \) последовательность будет: 2, 5, 8,..., 140 (это также 47 чисел, потому что 140 ÷ 3 + 1 = 47).
В итоге, сумма чисел, которые делятся на 3: \[ 46 + 47 = 93\]
Таким образом, из 140 строк, 93 числа делятся на 3.
