Олимпиады и тестирования - Школьный этап ВсОШ 2024/25, математика, 8 класс Nº 4 В первую строчку записали число 1. Во вторую строчку число 12. Далее в строчку с номером k записывали число, получающееся приписыванием к предыдущей строчке числа k. Например, в 12-ой строчке будет записано число 123456789101112). Всего на доску выписали 140 строчек (то есть 140 чисел). Сколько из них делятся на 3?

Чтобы решить задачу, определим, какие числа записываются на каждом этапе:

1. В первой строчке записано число 1.
2. Во второй строчке записано число 12.
3. В третьей строчке записываем 123.
4. В четвёртой строке 1234.
5. И так далее, пока не заполним 140 строчек.

Запишем числа, получающиеся на каждом этапе. Это числа, которые получаются путём последовательного написания чисел от 1 до k:

• 1 (1)
• 12 (1 и 2)
• 123 (1, 2 и 3)
• 1234 (1, 2, 3 и 4)
• ...
• 123456789101112...140 (от 1 до 140)

Чтобы узнать, сколько из этих чисел делится на 3, воспользуемся правилом делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Теперь мы найдем сумму цифр каждого числа от 1 до 140:

• В последовательности 1, 2, ..., 140 есть по сути у нас:
  • Для n = 1: сумма цифр = 1
  • Для n = 2: сумма цифр = 1 + 2 = 3
  • Для n = 3: сумма цифр = 1 + 2 + 3 = 6
  • ...
  • Для n = 140: считаем все цифры, т.е. 1 + 4 + 0 = 5.

Теперь нам нужно знать сумму цифр всех чисел от 1 до k=140. Каждое число n (где n от 1 до 140) добавляет свои цифры к сумме.

Однако, проще всего считать, что каждая строчка k будет иметь суммарную сумму цифр от начала до конца (то есть составит 1 + 2 + ... + k):

Сумма от 1 до 140 (это треугольное число) можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{n(n + 1)}{2} \] где n = 140: \[ S = \frac{140 \times 141}{2} = 9870 \]

К сожалению, для быстроты подсчета сумм цифр таким образом не выйдет, и нужно перебрать по строчкам. Нам нужно еще каждую из сумм проверить по модулю 3.

Чтобы понять, сколько из чисел 1, 12, ..., 123456789101112...123456789101112...140 делятся на 3:

• Нужно проверять каждое значение от 1 до 140 записанных в каждой строке на суммирование и искать, делится ли оно на 3.

Пусть K — это количество чисел от 1 до 140, степень которых делится на 3. Иногда каждое число по сумме будет делится на 3.

Количество подходящих ( K ) из всех 140 чисел: \[ K = \left\lfloor \frac{140}{3} \right\rfloor = 46 \]

Следовательно, всего 140 строчек, и из них 46 строчек чисел будут делиться на 3.

Ответ: 46.