На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 54, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего…

Чтобы решить эту задачу, начнем с нахождения сторон меньшего правильного шестиугольника, имеющего площадь 54.

Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2, \]

где \( S \) — площадь шестиугольника, а \( a \) — длина стороны шестиугольника.

Для меньшего шестиугольника, имеющего площадь 54, у нас есть:

\[ 54 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2. \]

Теперь выразим \( a^2 \):

\[ a^2 = \frac{54 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{108}{3\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}. \]

Теперь найдем длину стороны \( a \):

\[ a = \sqrt{12\sqrt{3}} = 2\sqrt[4]{3 \cdot 3} = 2\cdot 3^{3/8}. \]

Теперь перейдем к большему шестиугольнику. Наименьшая диагональ большего шестиугольника равна наибольшей диагонали меньшего шестиугольника. В правильном шестиугольнике наибольшая диагональ равна двойной длине стороны:

Для большего шестиугольника обозначим его сторону как \( b \). Мы имеем:

\[ 2a = b\sqrt{3}. \]

Поэтому:

\[ b = \frac{2a}{\sqrt{3}}. \]

Теперь найдем площадь большего шестиугольника:

\[ S_{б} = \frac{3\sqrt{3}}{2} b^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4a^2}{3} = 2a^2 = 2 \cdot 12\sqrt{3} = 24\sqrt{3}. \]

Теперь мы знаем площади шестиугольников:

• Площадь меньшего шестиугольника: \( 54 \).
• Площадь большего шестиугольника: \( 24\sqrt{3} \).

Для нахождения площади фигуры, образовавшейся в результате пересечения двух шестиугольников, можно использовать свойства симметрии, а также то, что они пересекаются перекрывающейся областью, частью меньшего.

Площадь пересечения двух правильных шестиугольников можно оценить через их площадки и общее расположение. Однако, более конкретно, для определения пересечения без дополнительной информации о расположении и размерах, можно делать следующие выводы:

Результатом пересечения может быть достаточно сложная фигура, но поскольку меньший шестиугольник полностью вложен в больший и диагонали совпадают, то часть меньшего может быть полностью в пределах большего шестиугольника.

Таким образом, наиболее вероятной площадью пересечения является площадь меньшего шестиугольника \( 54 \) квадратных единиц, если мы предполагаем, что меньший шестиугольник полностью пересекается с частью большего.

Таким образом, ответ на ваш вопрос:

Площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения двух правильных шестиугольников, равна 54.