на доске написаны разные неотрицательные целые числа . Коля вычел из каждого числа 1 затем сложил модули всех поллучившихсяичосел и получил сумму 73 . Вася вычел из каждого числа…
На доске написаны разные неотрицательные целые числа . Коля вычел из каждого числа 1 затем сложил модули всех поллучившихсяичосел и получил сумму 73 . Вася вычел из каждого числа на доске 2 , затем сложил модули всех получившийся чисел и получил сумму 74 . Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3|, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 95 ( каждый осуществлял операции с начальным набором чисел , написанным на доске ) сколько двоккибыло написано на доске
Давайте разберёмся с этой задачей шаг за шагом. Пусть на доске написано \( n \) неотрицательных целых чисел: \( x_1, x_2, \ldots, x_n \).
Действия Коли: Коля вычёл из каждого числа 1, получив: \( |x_1 - 1|, |x_2 - 1|, \ldots, |x_n - 1| \). Сумма модулей после этого составила 73:
\[ |x_1 - 1| + |x_2 - 1| + \ldots + |x_n - 1| = 73. \]
Действия Васи: Вася вычёл из каждого числа 2, то есть он получил: \( |x_1 - 2|, |x_2 - 2|, \ldots, |x_n - 2| \). Сумма модулей составила 74:
\[ |x_1 - 2| + |x_2 - 2| + \ldots + |x_n - 2| = 74. \]
Действия Андрея: Андрей вычёл из каждого числа 3, получив при этом: \( |x_1 - 3|, |x_2 - 3|, \ldots, |x_n - 3| \). Сумма модулей составила 95:
\[ |x_1 - 3| + |x_2 - 3| + \ldots + |x_n - 3| = 95. \]
Теперь давайте введём обозначения. Пусть \( S_k = |x_1 - k| + |x_2 - k| + \ldots + |x_n - k| \) для \( k = 1, 2, 3 \).
Имеем:
- \( S_1 = 73 \)
- \( S_2 = 74 \)
- \( S_3 = 95 \)
Теперь найдём, как меняется сумма модулей при переходе от \( S_k \) к \( S_{k+1} \). Рассмотрим разности:
\[ S_k - S_{k+1} = \sum_{i=1}^{n} (|x_i - k| - |x_i - (k+1)|). \]
Зависимость между этими выражениями можно свести к количеству чисел \( x_i \), которые равны \( k \), \( k+1 \) и \( k-1 \). В общем случае, можно показать, что:
\[ S_k - S_{k+1} = n - 2m, \]
где \( m \) — количество чисел \( x_i \), которые равны \( k \).
Теперь подставим данные:
- \( S_1 - S_2 = 73 - 74 = -1 \), поэтому \( n - 2m_1 = -1 \) (где \( m_1 \) — количество чисел, равных 1).
- \( S_2 - S_3 = 74 - 95 = -21 \), поэтому \( n - 2m_2 = -21 \) (где \( m_2 \) — количество чисел, равных 2).
Теперь у нас есть система уравнений:
\[ \begin{cases} n - 2m_1 = -1, \\ n - 2m_2 = -21. \end{cases} \]
Решим первое уравнение относительно \( n \):
\[ n = 2m_1 - 1. \]
Подставим во второе уравнение:
\[ 2m_1 - 1 - 2m_2 = -21. \]
Перепишем его:
\[ 2m_1 - 2m_2 = -20 \implies m_1 - m_2 = -10 \implies m_1 = m_2 - 10. \]
Теперь подставим \( m_1 \) во второе уравнение:
\[ n = 2(m_2 - 10) - 1 = 2m_2 - 20 - 1 = 2m_2 - 21. \]
Теперь у нас есть две формулы для \( n \):
\[ n = 2m_1 - 1 \implies n = 2(m_2 - 10) - 1. \]
Сравнив обе формулы, получаем:
\[ 2m_1 - 1 = 2m_2 - 21 \implies 2m_2 - 20 - 1 = 2m_2 - 21. \]
Из этого следует, что:
\[ n = 19 \quad \text{(при \, } m_2 = 10 \text{)}. \]
Теперь мы знаем количество двух: \( m_2 = 10 \). Ответ на вопрос: на доске было написано 10 двоек.
