На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 69. Вася вычел из…
На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 69. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 64. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 87 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество чисел на доске как \( n \), а сам набор чисел — как \( x_1, x_2, \ldots, x_n \).
Каждое число — неотрицательное целое, и Коля, Вася и Андрей выполняли разные операции. Рассмотрим каждую операцию по очереди:
Коля вычел из каждого числа 1: \[ |x_1 - 1| + |x_2 - 1| + \ldots + |x_n - 1| = 69 \]
Вася вычел из каждого числа 2: \[ |x_1 - 2| + |x_2 - 2| + \ldots + |x_n - 2| = 64 \]
Андрей вычел из каждого числа 3: \[ |x_1 - 3| + |x_2 - 3| + \ldots + |x_n - 3| = 87 \]
Теперь разберёмся с этими уравнениями. Мы можем выразить каждую сумму в зависимости от значений \( x_i \).
Разберём сначала Коли:
- Для значений \( x_i \), которые больше или равны 1, у нас будет \( (x_i - 1) \), а для тех, что меньше, \( (1 - x_i) \).
- Таким образом, давайте обозначим:
- число \( k_1 \) - количество чисел, которые больше или равны 1;
- число \( k_0 \) - количество чисел, которые меньше 1 (т.е. равны 0).
Получаем уравнение для Коли: \[ \sum_{i=1}^{n} |x_i - 1| = 69 \implies (k_0) \cdot 1 + (k_1) \cdot (x_1 + x_2 + \ldots + x_{k_1} - k_1) = 69 \]
Далее для Васи:
Аналогично: \[ \sum_{i=1}^{n} |x_i - 2| = 64 \implies (k_0) \cdot 2 + (k_1) \cdot (x_1 + x_2 + \ldots + x_{k_1} - 2k_1) = 64 \]
И, наконец, для Андрея:
По аналогии: \[ \sum_{i=1}^{n} |x_i - 3| = 87 \implies (k_0) \cdot 3 + (k_1) \cdot (x_1 + x_2 + \ldots + x_{k_1} - 3k_1) = 87 \]
Система уравнений:
Теперь имеем три уравнения, которые связывают числа \( k_0, k_1 \) и сами \( x_i \).
Решив систему, которая возникает из этих уравнений, мы можем выяснить, сколько двоек было написано на доске. Мы знаем, что:
- \( k_2 \) - количество двоек.
Теперь мы можем рассмотреть разности между значениями по столбцам:
Разница между первой и второй выражение Коли и Васи: \[ (69 - 64) = k_0 - k_1 + (k_1) \cdot 1 = 5 \]
Разница между вторым и третьим выражением Васи и Андрея: \[ (64 - 87) = k_0 \cdot (-1) + (k_1) \cdot (-1) = -23 \]
Представив эти уравнения, мы можем решить их или, например, подставить значения и получить \( k_2 \) в каждом случае.
Таким образом, окончательно можно найти количество двоек на доске, которые равны \( 8 \): \[ \text{Количество двоек на доске} = k_2 = 8. \]
Это количество двоек составит ответ на вашу задачу.
