В первую строчку записали число 1. Во вторую строчку число 12. Далее в строчку c номером k записывали число, получающееся приписыванием к предыдущей строчке числа k. Например, в…

Для решения задачи определим, как составляются числа в каждой строчке и как проверить их делимость на 3.

1. Определение структуры:

   • В первой строчке записали число 1.
   • Во второй строчке - число 12.
   • В третьей строчке будет записано число 123, в четвёртой - 1234, и так далее до k-ой строчки, где будет число, представляющее собой последовательность всех натуральных чисел от 1 до k.

2. Запись числа в k-ой строке:

   • Общее число в k-ой строке можно обозначить как \( N_k \), где \( N_k = 123...k \) (то есть это просто последовательные числа от 1 до k, записанные вместе).

3. Делимость на 3:

   • Для проверки делимости числа на 3 можно воспользоваться правилом: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

4. Сумма цифр:

   • Сумма цифр числа \( N_k \) будет равна сумме всех натуральных чисел от 1 до k, так как каждое число добавляет свои цифры к общей сумме.
   • Сумма первых k натуральных чисел равна \( \frac{k(k + 1)}{2} \).

5. Находим, при каких k сумма делится на 3:

   • Нам необходимо проверить, когда \( \frac{k(k + 1)}{2} \equiv 0 \) (mod 3).
   • Рассмотрим k по моду 3:
     • Если \( k \equiv 0 \) (mod 3), то \( k(k + 1) \equiv 0 \) (mod 3).
     • Если \( k \equiv 1 \) (mod 3), то \( k(k + 1) \equiv 1 \cdot 2 \equiv 2 \) (mod 3) – не делится на 3.
     • Если \( k \equiv 2 \) (mod 3), то \( k(k + 1) \equiv 2 \cdot 3 \equiv 0 \) (mod 3).

6. Считаем k от 1 до 140:

   • k может принимать значения от 1 до 140.
   • Поскольку каждый третий номер начинается с 0 и 2, мы можем найти количество значений k:
     • Всего 140 чисел.
     • k, делящиеся на 3: 3, 6, 9, ..., 138 (включительно) – этот ряд содержит 46 элементов (функция: \( k = 3n \), где n от 1 до 46).
     • k, которые дают остаток 2 при делении на 3: 2, 5, 8, ..., 140 (включительно) – это также 47 элементов.

7. Итог:

   • Суммируя оба случая, получаем \( 46 + 47 = 93 \).

Таким образом, из 140 чисел, записанных на доске, 93 числа делятся на 3.