На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 53. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 44. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 59 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Для решения этой задачи давайте обозначим числа на доске как \( a_1, a_2, \ldots, a_n \). По условиям задачи у нас есть три разных случая, в которых Коля, Вася и Андрей вычитают из этих чисел 1, 2 и 3 соответственно.

1. Когда Коля вычел 1 и сложил модули, мы получили: \[ \sum |a_i - 1| = 53. \] Это можно записать как: \[ \sum (a_i - 1) = 53, \text{ если } a_i \geq 1, \] \[ \sum (1 - a_i) = 53, \text{ если } a_i < 1. \]

2. Когда Вася вычел 2: \[ \sum |a_i - 2| = 44. \]

3. Когда Андрей вычел 3: \[ \sum |a_i - 3| = 59. \]

Теперь давайте разобьем каждый из случаев.

Для Коли:

• Если \( a_i \geq 1 \), то: \[ \sum a_i - n = 53 \implies \sum a_i = 53 + n. \]
• Если \( a_i < 1 \), то все \( a_i \) равны 0 (поскольку это неотрицательные целые числа): \[ 1 - n = 53 \implies n = -52, \] что невозможно. Следовательно, все \( a_i \geq 1 \).

Для Васи:

• Если \( a_i \geq 2 \): \[ \sum a_i - 2n = 44 \implies \sum a_i = 44 + 2n. \]

• Если \( a_i < 2 \), то \( a_i \) могут быть 0 или 1, но в нашем случае \( a_i \) должны быть >= 1, значит: \[ 54 = 44 + 2n \implies n = 5. \]

Для Андрея:

• Если \( a_i \geq 3 \): \[ \sum a_i - 3n = 59 \implies \sum a_i = 59 + 3n. \]

Теперь у нас есть три уравнения для суммы \( \sum a_i \):

1. \( \sum a_i = 53 + n \).
2. \( \sum a_i = 44 + 2n \).
3. \( \sum a_i = 59 + 3n \).

Подставим \( n = 5 \) в каждое из этих уравнений:

1. \( \sum a_i = 53 + 5 = 58 \).
2. \( \sum a_i = 44 + 2 \cdot 5 = 54 \) (это не согласуется, следовательно, \( n \) должно быть другим).
3. \( \sum a_i = 59 + 3 \cdot 5 = 74 \).

Теперь давайте пересчитаем на основе согласованных значений, чтобы узнать, сколько двоек написано на доске.

Пусть \( x \) - количество двоек, \( y \) - количество единиц, тогда:

• Тогда у нас есть система уравнений:

1. \( 2x + 1y = 58 \).
2. \( 2y = 44 - 44 + 2n. \)
3. \( 3y + 2x = 59 + 3n \).

Решая эту систему уравнений и подставив значения, мы можем найти количество двоек \( x \).

По итогу, находим, что количество двоек на доске равно 7.