На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 36, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника. Найдите площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников.

Для решения задачи начнем с того, что площадь правильного шестиугольника связана с длиной его стороны. Площадь \( S \) правильного шестиугольника может быть рассчитана по формуле:

\[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2, \] где \( a \) — длина стороны шестиугольника.

У нас есть меньший шестиугольник с площадью 36. Подставим это значение в формулу и найдем длину его стороны:

\[ 36 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2. \]

Решим это уравнение для \( a^2 \):

\[ a^2 = \frac{36 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{72}{3\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}}. \]

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\[ a^2 = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{8\sqrt{3}} = 2\sqrt[4]{3}. \]

Теперь найдем наибольшую диагональ меньшего шестиугольника. В правильном шестиугольнике длина наибольшей диагонали равна удвоенной стороне:

\[ d_{min} = 2a = 2 \cdot 2\sqrt[4]{3} = 4\sqrt[4]{3}. \]

Согласно условию, наименьшая диагональ большего шестиугольника равна \( d_{min} \) меньшего шестиугольника. Давайте обозначим длину стороны большего шестиугольника как \( A \). Тогда диагональ большего шестиугольника, которая равна удвоенной стороне, также будет равна:

\[ d_{max} = 2A. \]

Установим равенство:

\[ 2A = 4\sqrt[4]{3} \quad \Rightarrow \quad A = 2\sqrt[4]{3}. \]

Теперь найдем площадь большего шестиугольника, используя ту же формулу для площади:

\[ S_{big} = \frac{3\sqrt{3}}{2} A^2. \]

Вычислим \( A^2 \):

\[ A^2 = (2\sqrt[4]{3})^2 = 4 \cdot \sqrt{3}. \]

Теперь подставим в формулу для площади:

\[ S_{big} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18. \]

Теперь определим площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения двух шестиугольников.

Так как меньший шестиугольник полностью укрыт внутри большего, и наибольшая диагональ меньшего совпадает с наименьшей диагональю большего, площадь пересечения данных фигур будет равна площади меньшего шестиугольника.

Следовательно, площадь области пересечения двух правильных шестиугольников составляет:

\[ \text{Площадь пересечения} = 36. \]

Таким образом, окончательный ответ: площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников, составляет 36.