Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
Задача Задача №1879339
А
Аноним
16 октября 2024 09:48 · публичный вопрос
А
Аноним

В детском лагере каждый день проводится по одному конкурсу. Каждый отличившийся в конкурсе получает вечером ровно один приз. В четверг каждый приз стоил 39 рублей, а в пятницу -- 60 рублей. При этом в пятницу суммарные затраты на призы оказались выше, чем в четверг, как минимум на 1000 рублей, а число награждённых в эти дни отличалось не более чем на 2. Какое наименьшее число награждённых могло быть в четверг?

Нейросеть16 октября 2024 09:48

Обозначим количество награждённых в четверг как \( x \), а в пятницу как \( y \). Каждый приз в четверг стоил 39 рублей, а в пятницу — 60 рублей.

Согласно условию, суммарные затраты в пятницу превышают затраты в четверг как минимум на 1000 рублей:

\[ 60y \geq 39x + 1000 \]

Также известно, что разница между количеством награждённых в четверг и пятницу не превышает 2:

\[ |x - y| \leq 2 \]

Это означает, что \( y \) может быть равно \( x - 2 \), \( x - 1 \), \( x \), \( x + 1 \) или \( x + 2 \).

Теперь мы можем рассмотреть все случаи и найти минимальное значение \( x \).

  1. Случай 1: \( y = x - 2 \)

    Подставляя в неравенство:

    \[ 60(x - 2) \geq 39x + 1000 \] \[ 60x - 120 \geq 39x + 1000 \] \[ 21x \geq 1120 \] \[ x \geq \frac{1120}{21} \approx 53.33 \]

    Следовательно, \( x \) должно быть не менее 54.

  2. Случай 2: \( y = x - 1 \)

    Подставляя:

    \[ 60(x - 1) \geq 39x + 1000 \] \[ 60x - 60 \geq 39x + 1000 \] \[ 21x \geq 1060 \] \[ x \geq \frac{1060}{21} \approx 50.48 \]

    Таким образом, \( x \) должно быть не менее 51.

  3. Случай 3: \( y = x \)

    Подставляя:

    \[ 60x \geq 39x + 1000 \] \[ 21x \geq 1000 \] \[ x \geq \frac{1000}{21} \approx 47.62 \]

    Таким образом, \( x \) должно быть не менее 48.

  4. Случай 4: \( y = x + 1 \)

    Подставляя:

    \[ 60(x + 1) \geq 39x + 1000 \] \[ 60x + 60 \geq 39x + 1000 \] \[ 21x \geq 940 \] \[ x \geq \frac{940}{21} \approx 44.76 \]

    Таким образом, \( x \) должно быть не менее 45.

  5. Случай 5: \( y = x + 2 \)

    Подставляя:

    \[ 60(x + 2) \geq 39x + 1000 \] \[ 60x + 120 \geq 39x + 1000 \] \[ 21x \geq 880 \] \[ x \geq \frac{880}{21} \approx 41.9 \]

    Таким образом, \( x \) должно быть не менее 42.

Теперь мы суммируем все результаты для \( x \):

  • Случай 1: \( x \geq 54 \)
  • Случай 2: \( x \geq 51 \)
  • Случай 3: \( x \geq 48 \)
  • Случай 4: \( x \geq 45 \)
  • Случай 5: \( x \geq 42 \)

Наименьшее значение среди них - это 54.

Таким образом, наименьшее число награждённых, которое могло быть в четверг, равно \( \boxed{54} \).

В детском лагере каждый день проводится по одному конкурсу. Каждый отличившийся в конкурсе получает вечером ровно один приз. В четверг каждый приз стоил 39 рублей, а в пятницу -- 60 рублей. При этом в пятницу суммарные затраты на призы оказались выше, чем в четверг, как минимум на 1000 рублей, а число награждённых в эти дни отличалось не более чем на 2. Какое наименьшее число награждённых могло быть в четверг?
Обозначим количество награждённых в четверг как \( x \), а в пятницу как \( y \). Каждый приз в четверг стоил 39 рублей, а в пятницу — 60 рублей. Согласно условию, суммарные затраты в пятницу превышают затраты в четверг как минимум на 1000 рублей: \[ 60y \geq 39x + 1000 \] Также известно, что разница между количеством награждённых в четверг и пятницу не превышает 2: \[ |x - y| \leq 2 \] Это означает, что \( y \) может быть равно \( x - 2 \), \( x - 1 \), \( x \), \( x + 1 \) или \( x + 2 \). Теперь мы можем рассмотреть все случаи и найти минимальное значение \( x \). 1. **Случай 1:** \( y = x - 2 \) Подставляя в неравенство: \[ 60(x - 2) \geq 39x + 1000 \] \[ 60x - 120 \geq 39x + 1000 \] \[ 21x \geq 1120 \] \[ x \geq \frac{1120}{21} \approx 53.33 \] Следовательно, \( x \) должно быть не менее 54. 2. **Случай 2:** \( y = x - 1 \) Подставляя: \[ 60(x - 1) \geq 39x + 1000 \] \[ 60x - 60 \geq 39x + 1000 \] \[ 21x \geq 1060 \] \[ x \geq \frac{1060}{21} \approx 50.48 \] Таким образом, \( x \) должно быть не менее 51. 3. **Случай 3:** \( y = x \) Подставляя: \[ 60x \geq 39x + 1000 \] \[ 21x \geq 1000 \] \[ x \geq \frac{1000}{21} \approx 47.62 \] Таким образом, \( x \) должно быть не менее 48. 4. **Случай 4:** \( y = x + 1 \) Подставляя: \[ 60(x + 1) \geq 39x + 1000 \] \[ 60x + 60 \geq 39x + 1000 \] \[ 21x \geq 940 \] \[ x \geq \frac{940}{21} \approx 44.76 \] Таким образом, \( x \) должно быть не менее 45. 5. **Случай 5:** \( y = x + 2 \) Подставляя: \[ 60(x + 2) \geq 39x + 1000 \] \[ 60x + 120 \geq 39x + 1000 \] \[ 21x \geq 880 \] \[ x \geq \frac{880}{21} \approx 41.9 \] Таким образом, \( x \) должно быть не менее 42. Теперь мы суммируем все результаты для \( x \): - Случай 1: \( x \geq 54 \) - Случай 2: \( x \geq 51 \) - Случай 3: \( x \geq 48 \) - Случай 4: \( x \geq 45 \) - Случай 5: \( x \geq 42 \) Наименьшее значение среди них - это 54. Таким образом, наименьшее число награждённых, которое могло быть в четверг, равно \( \boxed{54} \).