№ 12 Прочитай условие задачи и реши её. Ребята ставят эксперимент, наблюдая за движением шайбы по поверхности полого конуса. Угол при вершине равен 60∘ (угол между вертикальной осью и поверхность конуса). Конус вращается с угловой скоростью 1 рад/с вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. Вершина конуса обращена вверх. Шайба небольшая, имеющая коэффициент трения о поверхность конуса 0,6. При каком максимальном расстоянии от вершины шайба будет неподвижна относительно конуса? Запиши в поле ответа верное число, округлив до сотых.

Чтобы решить эту задачу, полезно разделить её на несколько этапов.

1. Силы, действующие на шайбу: На шайбу действуют следующие силы:

   • Сила тяжести \( F_g = mg \), направленная вниз.
   • Нормальная сила \( N \), перпендикулярная поверхности конуса.
   • Сила трения \( F_t = \mu N \), которая направлена вверх по поверхности конуса.

2. Рассмотрим длину радиуса и высоту конуса: Угол при вершине конуса составляет \( 60^\circ \). Положим \( r \) как радиус основания на уровне шайбы, а \( h \) — высоту, на которой расположена шайба.

   Используя геометрические соотношения, можно записать: \[ \tan(60^\circ) = \frac{h}{r} \implies h = r \sqrt{3} \]

3. Центростремительное ускорение: Конус вращается, и шайба движется по окружности, поэтому на неё действует центростремительное ускорение \( a_c \): \[ a_c = \omega^2 r \] где \( \omega = 1 \, \text{рад/с} \).

4. Сила, обеспечивающая центростремительное ускорение: Нормальная сила \( N \) направлена в перпендикуляр к конусной поверхности и может быть разложена на две составляющие:

   • Вверх, против силы тяжести.
   • Вбок, направленная к центру окружности, обеспечивающая центростремительное ускорение.

   Запишем уравнение для проекции сил в вертикальном направлении: \[ N \cos(60^\circ) = mg \quad (1) \]

   И для проекции в горизонтальном направлении: \[ N \sin(60^\circ) = m \omega^2 r \quad (2) \]

5. Подставим значения: Из (1) выразим \( N \): \[ N = \frac{mg}{\cos(60^\circ)} = \frac{mg}{0.5} = 2mg \]

   Подставим это значение в (2): \[ 2mg \sin(60^\circ) = m \omega^2 r \] Упростим и подставим \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ 2mg \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1^2 r \implies mg\sqrt{3} = r \quad (3) \]

6. Сила трения: Сила трения будет равна: \[ F_t = \mu N = 0.6 \cdot 2mg = 1.2mg \] Для удержания шайбы на месте, это значение должно быть равно мгновенно действующей на шайбу центростремительной силе, что мы уже вычислили: \[ mg\sqrt{3} = 1.2mg \]

7. Решая уравнение (3): Поскольку масса \( m \) можно сократить из уравнения, мы получаем: \[ r = \frac{g\sqrt{3}}{1.2} \]

   Приняв \( g \approx 9.81 \, \text{м/c}^2 \), подставляем: \[ r = \frac{9.81 \cdot \sqrt{3}}{1.2} \approx \frac{9.81 \cdot 1.732}{1.2} \approx \frac{16.95}{1.2} \approx 14.12 \]

Таким образом, максимальное расстояние от вершины конуса, при котором шайба будет неподвижна относительно конуса, составляет примерно 14.12 (округляя до сотых).