X³-5x²+7x-3=0

Чтобы решить уравнение \( x^3 - 5x^2 + 7x - 3 = 0 \), можно использовать несколько методов. Один из самых простых способов — это поиск корней методом подбора или применение теоремы Безу. Попробуем найти рациональные корни, используя при этом деление.

Шаг 1: Поиск рациональных корней. По теореме рационального корня, возможные корни уравнения могут быть в виде \( p/q \), где \( p \) — делители свободного члена (-3), а \( q \) — делители ведущего коэффициента (1). Таким образом, возможные значения корней могут быть:

\( \pm 1, \pm 3 \)

Шаг 2: Проверка корней. Подставляем возможные целые корни в уравнение для проверки:

1. Проверим \( x = 1 \): \[ 1^3 - 5 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 - 3 = 1 - 5 + 7 - 3 = 0 \] Это корень.

2. Проверим \( x = -1 \): \[ (-1)^3 - 5 \cdot (-1)^2 + 7 \cdot (-1) - 3 = -1 - 5 - 7 - 3 = -16 \quad (\text{не корень}) \]

3. Проверим \( x = 3 \): \[ 3^3 - 5 \cdot 3^2 + 7 \cdot 3 - 3 = 27 - 45 + 21 - 3 = 0 \] Это корень.

4. Проверим \( x = -3 \): \[ (-3)^3 - 5 \cdot (-3)^2 + 7 \cdot (-3) - 3 = -27 - 45 - 21 - 3 = -96 \quad (\text{не корень}) \]

Мы нашли два корня: \( x = 1 \) и \( x = 3 \).

Шаг 3: Деление многочлена. Теперь, чтобы найти оставшиеся корни, мы можем разделить исходное уравнение на \( (x - 1)(x - 3) \).

Результат деления: \[ (x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3 \]

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).

Шаг 4: Решение квадратного уравнения. Это уравнение можно решить через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]

Корни квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2}{2} \] Значит, корни будут: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]

Таким образом, у уравнения \( x^3 - 5x^2 + 7x - 3 = 0 \) три корня:

1. \( x = 1 \)
2. \( x = 3 \)
3. \( x = 1 \) (кратный корень)

В результате, корни уравнения: \( x = 1 \) (двукратный) и \( x = 3 \).