X³-5x²+7x-3=0 по теореме безу
Конечно! Давайте решим уравнение \( x^3 - 5x^2 + 7x - 3 = 0 \) с использованием теоремы Безу.
Теорема Безу утверждает, что если многочлен \( f(x) \) делится на линейный многочлен \( (x - a) \), то \( f(a) = 0 \). Это означает, что \( a \) является корнем уравнения.
- Для начала попробуем найти рациональные корни. Мы будем проверять такие значения, как \( x = 1, 2, 3, -1, -2, -3 \), которые могут быть потенциальными корнями.
Подставим \( x = 1 \):
\[ f(1) = 1^3 - 5 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 - 3 = 1 - 5 + 7 - 3 = 0 \]
Таким образом, \( x = 1 \) является корнем уравнения.
- Теперь, зная один корень \( x = 1 \), мы можем выполнить деление многочлена \( f(x) \) на \( (x - 1) \). Мы будем использовать синтетическое деление:
1 | 1 -5 7 -3
| 1 -4 3
-----------------
1 -4 3 0
В результате деления получаем \( x^2 - 4x + 3 \).
- Теперь у нас есть квадратичный многочлен \( x^2 - 4x + 3 \). Мы можем найти его корни с помощью формулы:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \):
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \]
Это дает нам два корня:
\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]
- Теперь у нас есть все корни уравнения:
- \( x = 1 \)
- \( x = 3 \)
Таким образом, корни уравнения \( x^3 - 5x^2 + 7x - 3 = 0 \) — это \( x = 1 \) (двойной корень) и \( x = 3 \).
Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!
