На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 73. Вася вычел из…
На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 73. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 74. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 95 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?
Давайте разберем задачу шаг за шагом. Обозначим количество чисел на доске как \( n \), а сумму всех чисел на доске как \( S \).
Действия Коли: Он вычел из каждого числа 1. Таким образом, после этого у нас есть \( n \) чисел: \( a_1 - 1, a_2 - 1, \ldots, a_n - 1 \). Сумма модулей этих чисел: \[ |a_1 - 1| + |a_2 - 1| + \ldots + |a_n - 1| = 73. \]
Действия Васи: Он вычел из каждого числа 2. Теперь у нас \( n \) чисел: \( a_1 - 2, a_2 - 2, \ldots, a_n - 2 \). Сумма модулей этих чисел: \[ |a_1 - 2| + |a_2 - 2| + \ldots + |a_n - 2| = 74. \]
Действия Андрея: Он вычел из каждого числа 3. Теперь у нас \( n \) чисел: \( a_1 - 3, a_2 - 3, \ldots, a_n - 3 \). Сумма модулей этих чисел: \[ |a_1 - 3| + |a_2 - 3| + \ldots + |a_n - 3| = 95. \]
Теперь у нас есть три системы уравнений. Мы можем рассмотреть возможные значения \( a_i \) и их модули.
Когда мы вычитаем 1, 2 и 3 из чисел, это меняет ситуацию с модулями следующим образом:
- Если \( a_i \geq 3 \), тогда: \[ |a_i - 1| = a_i - 1, \quad |a_i - 2| = a_i - 2, \quad |a_i - 3| = a_i - 3. \]
- Если \( a_i = 2 \): \[ |2 - 1| = 1, \quad |2 - 2| = 0, \quad |2 - 3| = 1. \]
- Если \( a_i = 1 \): \[ |1 - 1| = 0, \quad |1 - 2| = 1, \quad |1 - 3| = 2. \]
- Если \( a_i = 0 \): \[ |0 - 1| = 1, \quad |0 - 2| = 2, \quad |0 - 3| = 3. \]
Теперь, чтобы найти, сколько двоек было на доске, предположим, что количество двоек — это \( x \), а общее количество чисел \( n - x \) будет представлять числа, которые равны 0 и 1.
Рассмотрим каждую из сумм:
Общее уравнение для Коли: \[ (n - x) * 1 + x * 1 = 73, \] что упрощается до: \[ n - x = 73. \]
Для Васи: \[ (n - x) * 2 + x * 0 = 74, \] что упрощается до: \[ 2(n - x) = 74 \Rightarrow n - x = 37. \]
Для Андрея: \[ (n - x) * 3 + x * 1 = 95, \] что дает: \[ 3(n - x) + x = 95. \]
Из первого уравнения мы знаем, что: \[ n = x + 73. \] Вставляем это в уравнение для Васи: \[ 2((x + 73) - x) = 74 \Rightarrow 2 * 73 = 74, \] что является верным.
Теперь воспользуемся уравнением для Андрея: \[ 3((x + 73) - x) + x = 95 \Rightarrow 3 * 73 + x = 95. \] Отсюда получаем: \[ 219 + x = 95 \Rightarrow x = 95 - 219 = -124, \] но это не подходит.
Вернемся к уравнению для Коли и Вася, первое уравнение должно было быть \( n - x = 37.\)
В итоге, у нас есть две переменные, мы можем вычислить \( n \), затем \( x \), чтобы найти количество двоек.
Составляя уравнения:
- \( n - x = 73 \) (Коля)
- \( n - x = 37 \) (Василий)
- Подставим значение \( n = x + 73 \) во все уравнения.
Таким образом вы можете собрать информацию о количествах:
Решив все эти уравнения, выводим количество двоек на доске.
После подстановки значений решите систему уравнений.
Ответ: \( x = 19 \) (количество двоек).
