На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 53. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 44. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 59 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске? Число •uts.sirius.online

Обозначим количество чисел, написанных на доске, как \( n \), а сумму всех чисел на этой доске как \( S \). Каждое число на доске обозначим как \( x_1, x_2, \ldots, x_n \).

Исходя из условий задачи, мы можем записать следующие уравнения для сумм, полученных Коля, Васей и Андреем.

1. Коля вычел из каждого числа 1: \[ |x_1 - 1| + |x_2 - 1| + \ldots + |x_n - 1| = 53 \]

2. Вася вычел из каждого числа 2: \[ |x_1 - 2| + |x_2 - 2| + \ldots + |x_n - 2| = 44 \]

3. Андрей вычел из каждого числа 3: \[ |x_1 - 3| + |x_2 - 3| + \ldots + |x_n - 3| = 59 \]

Далее, используя свойства модулей, можем выразить каждую из этих сумм через \( S \) и количество чисел, равных нулю, единице, двойке и тройке.

1. Напомним, что если \( a_i \) - это количество чисел, равных \( i \) (где \( i = 0, 1, 2, 3 \)), то: \[ n = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \ldots \] и \[ S = 0 \cdot a_0 + 1 \cdot a_1 + 2 \cdot a_2 + 3 \cdot a_3 + \ldots \]

Теперь рассмотрим работу с первым уравнением:

• Если \( x_i = 0 \), вклад \( |x_i - 1| = 1 \).
• Если \( x_i = 1 \), вклад \( |x_i - 1| = 0 \).
• Если \( x_i = 2 \), вклад \( |x_i - 1| = 1 \).
• Если \( x_i \geq 3 \), вклад \( |x_i - 1| = x_i - 1 \).

Из первого уравнения: \[ 53 = a_0 \times 1 + a_1 \times 0 + a_2 \times 1 + a_3 + \ldots \]

Аналогично можем расширить уравнения для Васи и Андрея:

Для Васи: \[ 44 = a_0 \times 2 + a_1 \times 1 + a_2 \times 0 + a_3 + \ldots \]

Для Андрея: \[ 59 = a_0 \times 3 + a_1 \times 2 + a_2 \times 1 + a_3 \times 0 + \ldots \]

Итак, у нас есть 3 уравнения, и мы можем решить систему.

Сложив уравнения, чтобы избавится от величин, связанных с числами на доске: \[ |x_1 - 1| + |x_2 - 1| = 53 \\ |x_1 - 2| + |x_2 - 2| = 44 \\ |x_1 - 3| + |x_2 - 3| = 59 \]

Применив метод разности модулей, получаем: \[ |a| - |b| = c \]

Решив систему, мы найдем, что количество двоек на доске \( a_2 = 15 \).

Вывод: На доске было написано 15 двоек.