Решите систему уравнений {x+2y =5 . {3x + xy =5
Чтобы решить систему уравнений
\[ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + xy = 5 \end{cases} \]
начнем с первого уравнения. Мы можем выразить \(x\) через \(y\):
\[ x = 5 - 2y \]
Теперь подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение:
\[ 3(5 - 2y) + (5 - 2y)y = 5 \]
Упростим уравнение:
\[ 15 - 6y + 5y - 2y^2 = 5 \]
Соберем все элементы и упростим:
\[ -2y^2 - y + 15 = 5 \]
\[ -2y^2 - y + 10 = 0 \]
Умножим все уравнение на \(-1\) для удобства:
\[ 2y^2 + y - 10 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81 \]
Дискриминант \(D\) равен \(81\), что является квадратом числа, поэтому у уравнения два действительных корня. Находим корни:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 9}{4} \]
Рассмотрим два случая:
- \(y_1 = \frac{-1 + 9}{4} = \frac{8}{4} = 2\)
- \(y_2 = \frac{-1 - 9}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5\)
Теперь подставим найденные значения \(y\) обратно в \(x = 5 - 2y\).
Для первого корня \(y = 2\):
\[ x = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1 \]
Для второго корня \(y = -2.5\):
\[ x = 5 - 2 \cdot (-2.5) = 5 + 5 = 10 \]
Таким образом, у нас есть два решения:
- \( (x, y) = (1, 2) \)
- \( (x, y) = (10, -2.5) \)
Итак, решения системы уравнений:
\[ \begin{cases} (x, y) = (1, 2) \\ (x, y) = (10, -2.5) \end{cases} \]
