В прямоугольном треугольнике с острым углом а катеты равны cos а и 2 sin a. Найдите квадрат меньшего катета. Ответ выразите в виде несократимой обыкновенной дроби.

В прямоугольном треугольнике с острым углом \( \alpha \) катеты равны \( \cos \alpha \) и \( 2 \sin \alpha \).

Для того чтобы определить меньший катет, необходимо сравнить значения катетов:

1. Первый катет: \( a_1 = \cos \alpha \)
2. Второй катет: \( a_2 = 2 \sin \alpha \)

Теперь сравним их. Знаем, что \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \) имеют значения в интервале от 0 до 1 для \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). Поскольку \( 2 \sin \alpha \) всегда больше \( \cos \alpha \) для \( \alpha \) в этом диапазоне, то меньший катет – это \( \cos \alpha \).

Теперь найдем квадрат меньшего катета:

\[ (cos \alpha)^2 \]

Разберемся, как можно выразить это в несократимой обыкновенной дроби. Мы знаем, что:

\[ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} \]

Пусть \( \tan \alpha = t \), тогда:

\[ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + t^2} \]

Нет необходимости использовать дополнительную форму. Таким образом, если выразить \( \cos^2 \alpha \) только через \( \sin \alpha \):

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \]

Поскольку \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), получаем:

\[ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1}{1 + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{1} = \cos^2\alpha \]

Но для нашего исходного пункта, квадрат меньшего катета (меняя основание на функцию): \[ \cos^2 \alpha \text{ искомый результат.} \]

Таким образом, ответ: \[ \cos^2 \alpha = \frac{u^2}{u^2 + 4u^2} = \frac{1}{5} \text{ (где } u = \sin^2\alpha\text{ )} \]

Ответ: Квадрат меньшего катета равен \( \frac{1}{5} \).