На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 54, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника. Найдите площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников.

Для решения задачи начнем с нахождения стороны меньшего шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника с длиной стороны \( a \) рассчитывается по формуле:

\[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \]

Согласно условию, у нас есть меньший шестиугольник с площадью 54:

\[ \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = 54 \]

Теперь найдем \( a^2 \):

\[ a^2 = \frac{54 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{108}{3\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3} \]

Следовательно, длина стороны меньшего шестиугольника равна:

\[ a = \sqrt{12\sqrt{3}} = 2\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{3} = 2\sqrt{3^{3/2}} = 2 \cdot 3^{3/4} \]

Теперь найдём наибольшую диагональ меньшего шестиугольника. Для правильного шестиугольника максимальная диагональ равна \( 2a \):

\[ D_{min} = 2a = 2 \cdot 2\sqrt{3^{3/4}} = 4\sqrt{3^{3/4}} \]

Теперь перейдем к большему шестиугольнику. Обозначим длину его стороны через \( b \). Наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника, значит:

\[ D_{min\_большого} = 2b \]

Приравняем эти длины:

\[ 2b = 2a \implies b = a \]

Теперь найдем площадь большего шестиугольника (так как его стороны равны):

\[ S_{big} = \frac{3\sqrt{3}}{2} b^2 \]

В данном случае \( b = a \).

Площадь большего шестиугольника равна площади меньшего, то есть тоже будет равна 54.

Теперь найдем площадь пересечения двух шестиугольников. Они совпадают по всем линиям, так как второй шестиугольник равен первому. Следовательно, площадь пересечения двух шестиугольников равна площади меньшего, а площадь меньшего равна 54.

Итак, окончательный ответ:

\[ \text{Площадь пересечения} = 54 \]