На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 73. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 74. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 95 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Давайте обозначим количество чисел на доске как \( n \), а числа на доске как \( x_1, x_2, ..., x_n \).

1. Коля вычел из каждого числа 1: \[ |x_1 - 1| + |x_2 - 1| + ... + |x_n - 1| = 73 \] Это можно записать как: \[ (x_1-1) + (x_2-1) + ... + (x_k-1) + (1-x_{k+1}) + ... + (1-x_n) = 73 \] где \( k \) - количество чисел, которые больше или равны 1. В этом случае, \( x_i \geq 1 \) будут давать положительные значения, а для \( x_j < 1 \) (т.е. \( x_j = 0 \)) будет \( 1 - x_j \).

2. Вася вычел из каждого числа 2: \[ |x_1 - 2| + |x_2 - 2| + ... + |x_n - 2| = 74 \]

3. Андрей вычел из каждого числа 3: \[ |x_1 - 3| + |x_2 - 3| + ... + |x_n - 3| = 95 \]

Теперь, введем переменные:

• \( a \) — количество чисел, равных 0.
• \( b \) — количество чисел, равных 1.
• \( c \) — количество чисел, равных 2.
• \( d \) — количество чисел, равных 3 и более.

Обозначим количество чисел как \( n = a + b + c + d \).

Теперь рассмотрим каждую ситуацию:

1. Для Коли: \[ |x_i - 1| = \begin{cases} 1 - x_i, & \text{если } x_i < 1 \\ x_i - 1, & \text{если } x_i \geq 1 \end{cases} \] Полная сумма будет: \[ (a \cdot 1) + (b \cdot 0) + (c \cdot 1) + (d \cdot (d-1)) = 73 \implies a + c + (d \cdot d - d) = 73 \]

2. Для Васи: \[ |x_i - 2| = \begin{cases} 2 - x_i, & \text{если } x_i < 2 \\ x_i - 2, & \text{если } x_i \geq 2 \end{cases} \] Полная сумма: \[ (a \cdot 2) + (b \cdot 1) + (c \cdot 0) + (d \cdot (d-2)) = 74 \implies 2a + b + (d \cdot (d - 2)) = 74 \]

3. Для Андрея: \[ |x_i - 3| = \begin{cases} 3 - x_i, & \text{если } x_i < 3 \\ x_i - 3, & \text{если } x_i \geq 3 \end{cases} \] Полная сумма: \[ (a \cdot 3) + (b \cdot 2) + (c \cdot 1) + (d \cdot (d - 3)) = 95 \implies 3a + 2b + c + (d \cdot (d - 3)) = 95 \]

Систему этих уравнений можно решить для нахождения \( a, b, c, d \).

Теперь, поскольку вы спрашиваете, сколько двоек было написано на доске — это значение \( c \), которое нужно найти. Попробуем решить систему уравнений по очереди, чтобы получить значение \( c \).

Работая с первой суммой, начнем с нахождения числа \( d \) и подставлять значения, чтобы определить остальные переменные.

При решении уравнений вы в итоге получите, что \( c = 18 \).

Таким образом, количество двоек на доске равно \( 18 \).