На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 69. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 64. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 87 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Обозначим количество чисел на доске через \( n \), а сами числа через \( a_1, a_2, \ldots, a_n \).

После того как Коля вычел 1 из каждого числа, сумма модулей дается формулой:

\[ S_1 = |a_1 - 1| + |a_2 - 1| + \ldots + |a_n - 1| = 69 \]

После действий Васи, который вычел 2 из каждого числа, получаем:

\[ S_2 = |a_1 - 2| + |a_2 - 2| + \ldots + |a_n - 2| = 64 \]

А после действий Андрея, который вычел 3, сумма равна:

\[ S_3 = |a_1 - 3| + |a_2 - 3| + \ldots + |a_n - 3| = 87 \]

Рассмотрим теперь разности между этими суммами:

1. Для \( S_1 \) и \( S_2 \):

\[ S_1 - S_2 = (|a_1 - 1| - |a_1 - 2|) + (|a_2 - 1| - |a_2 - 2|) + \ldots + (|a_n - 1| - |a_n - 2|) = 69 - 64 = 5 \]

2. Для \( S_2 \) и \( S_3 \):

\[ S_2 - S_3 = (|a_1 - 2| - |a_1 - 3|) + (|a_2 - 2| - |a_2 - 3|) + \ldots + (|a_n - 2| - |a_n - 3|) = 64 - 87 = -23 \]

Теперь проанализируем выражения \( |x - k| - |x - (k+1)| \):

• Если \( x \geq k + 1 \), то \( |x - k| - |x - (k+1)| = 0 \).
• Если \( k \leq x < k + 1 \), то \( |x - k| - |x - (k+1)| = x - k + 1\), то есть добавляет 1 к сумме.
• Если \( x < k \), то \( |x - k| - |x - (k+1)| = k - x - (k - 1 + x) = -1\), то есть уменьшает на 1.

Рассмотрим:

1. \( S_1 - S_2 = 5 \) означает, что преимущественно у нас 5 таких чисел \( a_i \), для которых \( a_i = 1 \) (поскольку только такие числа дают + 1).
2. Теперь разложим следующую разность \( S_2 - S_3 = -23 \): Это означает, что у нас 23 числа \( a_i \), для которых они меньше 2, дающие -1. Данные числа ‒ это нули, так как они дают \(-1\).

Теперь определим количество двоек. Пусть \( k \) ‒ это количество двоек. Странца чисел, которые 1, 0 (для \( S1 \) и \( S2 \)) также будет 5 + \( n \neq 1\). Теперь, если обозначим общее количество через \( n = x + y + z \) (где x - 0, y - 1, z - 2):

\[ y + z + x = n \]

Учитывая два условия:

• Сумма чисел (двое при \( S_2 \))
• \( n - y - z = 5 \)

Из предыдущего у у нас получается, будет просто сделать уравнение по количествам для полученных объектов:

Таким образом,

• \( 5 + x + k + y = 69 + 1k + x + 0 \to 0 ≤ 3, \text{ где }\ k+y = 2\).

Из этого уравнения получится ответ 12, так что:

Зафиксируем количество двух:

Подытожим, \( k = 12 \).

Следовательно, мы имеем ответ:

Количество двоек на доске – 12.