Дан квадратный трехчлен f(x) известно что линейная функция y=f(x+3)-f(x) обращается в ноль при x=6 при каком значении аргумента обращается в ноль функция y=f(x+3)-f(x)

Чтобы найти, при каком значении аргумента обращается в ноль функция \( y = f(x + 3) - f(x) \), давайте разберёмся с нашей линейной функцией.

Предположим, что \( f(x) = ax^2 + bx + c \) — это квадратный трехчлен, где \( a \), \( b \) и \( c \) — некоторые коэффициенты. Теперь давайте выразим \( f(x + 3) \):

\[ f(x + 3) = a(x + 3)^2 + b(x + 3) + c = a(x^2 + 6x + 9) + b(x + 3) + c \]

Раскроем скобки:

\[ f(x + 3) = ax^2 + 6ax + 9a + bx + 3b + c = ax^2 + (6a + b)x + (9a + 3b + c) \]

Теперь давайте найдем \( y = f(x + 3) - f(x) \):

\[ y = \left( ax^2 + (6a + b)x + (9a + 3b + c) \right) - \left( ax^2 + bx + c \right) \]

Упрощая это, получаем:

\[ y = (6a + b - b)x + (9a + 3b + c - c) = 6ax + (9a + 3b) \]

Теперь известно, что эта функция обращается в ноль при \( x = 6 \):

\[ 0 = 6a(6) + (9a + 3b) \]

Это уравнение можно упростить:

\[ 0 = 36a + 9a + 3b \implies 0 = 45a + 3b \]

Это уравнение показывает связь между \( a \) и \( b \).

Теперь чтобы найти, при каком значении \( x \) функция \( y \) обращается в ноль, опять приравняем \( y \) к нулю:

\[ 0 = 6ax + (9a + 3b) \]

Исходя из вышеуказанного, мы можем выразить \( x \):

\[ 6ax = - (9a + 3b) \implies x = \frac{-(9a + 3b)}{6a} \]

Таким образом, функция \( y \) обращается в ноль при значении \( x = \frac{-(9a + 3b)}{6a} \).

Теперь, используя \( 45a + 3b = 0 \), выразим \( b \):

\[ b = -15a \]

Подставляя это значение обратно в уравнение для \( x \):

\[ x = \frac{-(9a + 3(-15a))}{6a} = \frac{-(9a - 45a)}{6a} = \frac{36a}{6a} = 6 \]

Таким образом, функция \( y = f(x + 3) - f(x) \) тоже обращается в ноль при \( x = 6 \).