X-1 под корнем умножить на 2x+6 под корнем=x+3

Чтобы решить уравнение \(\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{2x+6} = x + 3\), начнем с того, что упростим его.

1. Умножим корни, используя свойство корней: \[ \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{2x+6} = \sqrt{(x-1)(2x+6)}. \] Таким образом, уравнение можно записать как: \[ \sqrt{(x-1)(2x+6)} = x + 3. \]

2. Теперь избавимся от квадратного корня. Для этого возведем обе стороны уравнения в квадрат: \[ (x-1)(2x+6) = (x+3)^2. \]

3. Раскроем скобки:

   • Левую часть: \[ (x-1)(2x+6) = 2x^2 + 6x - 2x - 6 = 2x^2 + 4x - 6. \]
   • Правую часть: \[ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9. \]

4. Теперь у нас есть: \[ 2x^2 + 4x - 6 = x^2 + 6x + 9. \]

5. Переносим все в одну сторону: \[ 2x^2 + 4x - 6 - x^2 - 6x - 9 = 0, \] что упрощается до: \[ x^2 - 2x - 15 = 0. \]

6. Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64. \]

7. Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два решения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 8}{2}. \] Это дает: \[ x_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3. \]

8. Теперь проверим, подойдут ли эти значения в исходное уравнение. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Для \(x = 5\):

   • \(\sqrt{5-1} = \sqrt{4} = 2\)
   • \(\sqrt{2 \cdot 5 + 6} = \sqrt{16} = 4\)
   • Проверим уравнение: \(2 \cdot 4 = 8\) и \(5 + 3 = 8\) — верно.

Для \(x = -3\):

• \(\sqrt{-3-1}\) не определено.

Таким образом, единственное решение уравнения — \(x = 5\).