в первою сточку записали 1. во вторую строчку числа 12 далее в строчку с номером k записывали число получающееся приписываем к предыдущим строчке числа k например в 12 строчке…

Для решения этой задачи давайте сначала поймем, как формируется последовательность чисел, записываемых в строках.

1. В первой строке записано число 1.
2. Во второй строке записано число 12.
3. В третьей строке будет записано число 123, а в четвёртой — 1234, и так далее, вплоть до 101-й строки, где будет записано число от 1 до 101, то есть 12345678910111211131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100.

Теперь нам нужно найти, сколько из этих чисел делятся на 3. Для этого мы можем воспользоваться свойством делимости: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Давайте исследуем строки по порядку:

• Строка 1: 1 → сумма = 1
• Строка 2: 12 → сумма = 1 + 2 = 3
• Строка 3: 123 → сумма = 1 + 2 + 3 = 6
• Строка 4: 1234 → сумма = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
• Строка 5: 12345 → сумма = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
• Строка 6: 123456 → сумма = 21
• Строка 7: 1234567 → сумма = 28
• И так далее…

При этом заметим, что сумма цифр в n-ой строке равняется \( S(n) = \frac{n(n + 1)}{2} \), то есть это сумма первых n натуральных чисел.

Теперь нам нужно найти, каким образом S(n) делится на 3. Это происходит, если \( n(n + 1)/2 \) делится на 3.

Мы можем рассмотреть значение n по модулю 3:

• Если n ≡ 0 (то есть n = 3k), тогда S(n) делится на 3.
• Если n ≡ 1 (то есть n = 3k + 1), тогда S(n) не делится на 3.
• Если n ≡ 2 (то есть n = 3k + 2), тогда S(n) не делится на 3.

Таким образом, находим все k от 1 до 101, то есть от 1 до 100:

• n = 3, 6, 9, ..., 99 (33 значения, соответственно)
• n = 2, 5, 8, ..., 101 (33 значения, соответственно)
• n = 1, 4, 7, ..., 100 (33 значения, соответственно)

Итак, в 101 строке всего 33 числа будут делиться на 3.