1. Дана функция y = 2cos(x + pi/3) - 1 а) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции b) Постройте график этой функции преобразований.
Давайте разберемся с функцией
\[ y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1. \]
а) Наибольшее и наименьшее значение функции
Косинус (cos) принимает значения в пределах от -1 до 1. При этом, когда мы рассматриваем функцию
\[ y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1, \]
мы можем определить наибольшее и наименьшее значения следующим образом:
Наибольшее значение косинуса: \[ \cos(x + \frac{\pi}{3}) = 1 \Rightarrow y = 2 \cdot 1 - 1 = 1. \]
Наименьшее значение косинуса: \[ \cos(x + \frac{\pi}{3}) = -1 \Rightarrow y = 2 \cdot (-1) - 1 = -2. \]
Таким образом, наибольшее значение функции \( y \) равно 1, а наименьшее значение равно -2.
b) Построение графика функции
Чтобы построить график функции \( y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1 \), следует учесть несколько ключевых моментов:
Параметры трансформации:
- Амплитуда: 2 (график колеблющейся функции будет колебаться от -2 до 1).
- Фаза: сдвиг по горизонтали на \( -\frac{\pi}{3} \) (передвижение графика влево).
- Вертикальный сдвиг: -1 (весь график смещён вниз на 1).
Определение периодичности:
- Период функции \( \cos \) равен \( 2\pi \). Поскольку в данной функции отсутствуют изменения в периоде, он остается равным \( 2\pi \).
Теперь, ходя по оси \( x \), можно отмечать ключевые точки:
- \( x = -\frac{\pi}{3} \): \( y = 1 \)
- \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \): \( y = -1 \)
- \( x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \pi \): \( y = -1 \)
- \( x = \pi + \pi = 2\pi \): \( y = 1 \)
На каждой итерации функции \( y \) колеблется между -2 и 1. Теперь на графике можно провести прямые линии через эти точки, получая плавную волну, которая повторяется каждые \( 2\pi \).
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с построением графика, не стесняйтесь спрашивать!
