Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить…
Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения числа очков, полученных стрелком, за 3 выстрела, и вычислить математическое ожидание этой случайной величины.
Чтобы решить эту задачу, давайте сначала поймем, как формируется закон распределения числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела.
Стрелок имеет вероятность попадания p = 0.2 и, соответственно, вероятность промаха q = 1 - p = 0.8. Стрелок может сделать 0, 1, 2 или 3 попадания, что определяет, сколько очков он заработает.
Пусть X — случайная величина, представляющая количество попаданий за 3 выстрела. Поскольку мы имеем дело с биномиальным распределением, X будет иметь значения от 0 до 3. Каждый раз, когда стрелок попадает, он получает 5 очков. Следовательно, общее количество очков будет равно 5X.
Теперь составим закон распределения случайной величины Y = 5X, которая представляет количество очков, полученных стрелком:
Вероятность того, что стрелок не попадет ни разу (X = 0): \[ P(X = 0) = C(3, 0) \cdot p^0 \cdot q^3 = 1 \cdot (0.2)^0 \cdot (0.8)^3 = 0.512 \] Следовательно, Y = 0 очков, P(Y = 0) = 0.512.
Вероятность того, что стрелок попадет 1 раз (X = 1): \[ P(X = 1) = C(3, 1) \cdot p^1 \cdot q^2 = 3 \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^2 = 3 \cdot 0.2 \cdot 0.64 = 0.384 \] Следовательно, Y = 5 очков, P(Y = 5) = 0.384.
Вероятность того, что стрелок попадет 2 раза (X = 2): \[ P(X = 2) = C(3, 2) \cdot p^2 \cdot q^1 = 3 \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^1 = 3 \cdot 0.04 \cdot 0.8 = 0.096 \] Следовательно, Y = 10 очков, P(Y = 10) = 0.096.
Вероятность того, что стрелок попадет 3 раза (X = 3): \[ P(X = 3) = C(3, 3) \cdot p^3 \cdot q^0 = 1 \cdot (0.2)^3 \cdot (0.8)^0 = 0.008 \] Следовательно, Y = 15 очков, P(Y = 15) = 0.008.
Таким образом, закон распределения случайной величины Y (число очков) выглядит следующим образом:
- P(Y = 0) = 0.512
- P(Y = 5) = 0.384
- P(Y = 10) = 0.096
- P(Y = 15) = 0.008
Теперь мы можем вычислить математическое ожидание случайной величины Y:
\[ E(Y) = 0 \cdot P(Y = 0) + 5 \cdot P(Y = 5) + 10 \cdot P(Y = 10) + 15 \cdot P(Y = 15) \] \[ E(Y) = 0 \cdot 0.512 + 5 \cdot 0.384 + 10 \cdot 0.096 + 15 \cdot 0.008 \] \[ E(Y) = 0 + 1.92 + 0.96 + 0.12 = 3 \]
Итак, математическое ожидание числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела, равно 3.
