Председатель спортивной федерации поручил всю работу своим пяти заместителям и выдал им наборы печатей. Документ считается действительным, если на нём стоят печати всех возможных…

Для решения данной задачи воспользуемся теорией комбинаций и свойствами систем печатей.

Пусть \( n \) — количество заместителей (в данном случае \( n = 5 \)). Мы хотим, чтобы любой набор из трех заместителей мог выдать действительный документ, имея все необходимые печати, в то время как два заместителя никогда не могут выдать действительный документ.

Если нам нужно, чтобы любой набор из трех заместителей мог выдать действительный документ, это означает, что для каждого возможного сочетания трех заместителей необходимо иметь уникальные печати, которые не дублируются другими сочетаниями.

Каждый замещающий требуется иметь печати, которые находятся в соответствии с условием. Если обозначим виды печатей как \( P_1, P_2, \ldots, P_k \), то должны выполняться следующие условия:

1. Для каждой тройки \( (A, B, C) \) существует печать, которая есть у \( A \), у \( B \) и у \( C \).
2. Для каждой пары \( (A, B) \) не должно быть печати, которая есть у обоих.

Из таких соображений можно прийти к предыдущей теории комбинаторики, называемой "проектive plane", которая предлагает решение для подобного рода задач.

Согласно конструкциям, подходящих для данного случая с пятью заместителями, минимальное значение \( k \), то есть количества видов печатей, равно 7.

При этом каждому заместителю необходимо выдать 3 различные печати.

Таким образом, ответ на задачу:

• Минимальное количество видов печатей: 7.
• Количество печатей, которые надо выдать каждому заместителю: 3.