Аделина Эвелина и Паулина писали олимпиады по математике где за каждую задачу можно было получить некоторое целое неотрицательное количество баллов после объявления итогов…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим:

• количество баллов, набранное Аделиной: \( A \)
• количество баллов, набранное Эвелиной: \( E \)
• количество баллов, набранное Паулиной: \( P \)

Согласно условию, у нас есть следующие данные:

1. \( A = E \) (Аделина и Эвелина набрали одинаковое количество баллов)
2. \( A + E > 31 \) (сумма их баллов больше 31)
3. \( A + E + P < 70 \) (сумма баллов всех трёх меньше 70)
4. \( A + E + P = 3.5 \cdot P \) (сумма баллов всех трёх в 3.5 раза больше, чем у Паулины)

Теперь мы можем заменить \( E \) на \( A \) в уравнениях, так как \( A = E \):

• Из первого уравнения: \( 2A > 31 \) (то есть, \( A > 15.5 \)). Поскольку количество баллов целое неотрицательное, значит \( A \geq 16 \).

Теперь подставим значение \( A \) в третье уравнение:

• \( 2A + P < 70 \)
• Таким образом, \( P < 70 - 2A \).

Теперь заменим значение \( A + E + P \) в четвёртом уравнении:

• \( 2A + P = 3.5P \).

Теперь упростим это уравнение:

• \( 2A = 3.5P - P \)
• \( 2A = 2.5P \)
• \( A = 1.25P \).

Теперь выразим \( P \) через \( A \):

• \( P = \frac{A}{1.25} = \frac{4A}{5} \).

Подставим \( P \) в неравенство \( P < 70 - 2A \):

• \( \frac{4A}{5} < 70 - 2A \). Умножим обе стороны на 5, чтобы избавиться от дроби:
• \( 4A < 350 - 10A \). Теперь, соберём все термины с \( A \) в одной части:
• \( 4A + 10A < 350 \).
• \( 14A < 350 \).
• \( A < \frac{350}{14} \).
• \( A < 25 \).

Объединив все условия, у нас получается: \( 16 \leq A < 25 \). Это значит, что возможные целые значения для \( A \) могут быть: 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Теперь давайте проверим значения, чтобы убедиться, что они удовлетворяют всем условиям.

Для каждого значения \( A \) мы можем найти \( P \):

• Если \( A = 16 \): \( P = \frac{4 \cdot 16}{5} = 12.8 \) (не подходит, так как P должно быть целым)
• Если \( A = 17 \): \( P = \frac{4 \cdot 17}{5} = 13.6 \) (не подходит)
• Если \( A = 18 \): \( P = \frac{4 \cdot 18}{5} = 14.4 \) (не подходит)
• Если \( A = 19 \): \( P = \frac{4 \cdot 19}{5} = 15.2 \) (не подходит)
• Если \( A = 20 \): \( P = \frac{4 \cdot 20}{5} = 16 \) (подходит)
  • Теперь проверим неравенства: \( 2A + P = 40 + 16 = 56 < 70\) (подходит)
• Если \( A = 21 \): \( P = \frac{4 \cdot 21}{5} = 16.8 \) (не подходит)
• Если \( A = 22 \): \( P = \frac{4 \cdot 22}{5} = 17.6 \) (не подходит)
• Если \( A = 23 \): \( P = \frac{4 \cdot 23}{5} = 18.4 \) (не подходит)
• Если \( A = 24 \): \( P = \frac{4 \cdot 24}{5} = 19.2 \) (не подходит)

Таким образом, единственным подходящим значением является:

• \( A = 20 \).

Следовательно, Аделина на олимпиаде набрала 20 баллов.