В детском лагере каждый день проводится по одному конкурсу. Каждый отличившийся в конкурсе получает вечером ровно один приз. В четверг каждый приз стоил 34 рубля, а в пятницу 55 рублей. При этом в пятницу суммарные затраты на призы оказались выше, чем в четверг, как минимум на 1000 рублей, а число награждённых в эти дни отличалось не более чем на 2. Какое наименьшее число награждённых могло быть в четверг?

Чтобы найти наименьшее число награждённых в четверг, давайте обозначим это число как \(x\), а число награждённых в пятницу — как \(y\). У нас есть следующие данные:

1. Стоимость приза в четверг: 34 рубля.
2. Стоимость приза в пятницу: 55 рублей.
3. Общие затраты на призы в пятницу больше, чем в четверг, как минимум на 1000 рублей: \[ 55y > 34x + 1000 \]
4. Разница в числе награждённых не более чем на 2: \[ |x - y| \leq 2 \]

Рассмотрим два возможных случая для числа награждённых в пятницу по сравнению с четвергом:

Случай 1: \(y = x + 2\)

Подставим это в наше неравенство: \[ 55(x + 2) > 34x + 1000 \] Раскроем скобки: \[ 55x + 110 > 34x + 1000 \] Переносим всё в одну сторону: \[ 55x - 34x > 1000 - 110 \] Упрощаем: \[ 21x > 890 \] Делим обе стороны на 21: \[ x > \frac{890}{21} \approx 42.38 \] Так как \(x\) должно быть целым, минимальное значение \(x = 43\).

Теперь подставим это значение для нахождения \(y\): \[ y = 43 + 2 = 45. \]

Теперь проверим условия:

• Затраты в четверг: \[ 34 \times 43 = 1462 \text{ рублей}. \]

• Затраты в пятницу: \[ 55 \times 45 = 2475 \text{ рублей}. \]

• Проверяем разницу: \[ 2475 - 1462 = 1013 \text{ рублей} > 1000 \text{ рублей}. \] Это выполняется.

Случай 2: \(y = x - 2\)

Подставим это в неравенство: \[ 55(x - 2) > 34x + 1000 \] Раскроем скобки: \[ 55x - 110 > 34x + 1000 \] Переносим всё в одну сторону: \[ 55x - 34x > 1000 + 110 \] Упрощаем: \[ 21x > 1110 \] Делим обе стороны на 21: \[ x > \frac{1110}{21} \approx 52.86 \] Минимальное целое значение для \(x = 53\).

Теперь подставим и найдем \(y\): \[ y = 53 - 2 = 51. \]

Теперь проверим условия:

• Затраты в четверг: \[ 34 \times 53 = 1802 \text{ рублей}. \]

• Затраты в пятницу: \[ 55 \times 51 = 2805 \text{ рублей}. \]

• Проверяем разницу: \[ 2805 - 1802 = 1003 \text{ рублей} > 1000 \text{ рублей}. \] Это тоже выполняется.

Сравнивая два случая, минимальное число награждённых в четверг, которое удовлетворяет всем условиям, равно 43.

Таким образом, наименьшее число награждённых, которое могло быть в четверг, равно 43.