дан квадратный трехчлен f(x).Известно,что линейная функция y=f(x+1) - f(x) обращается в ноль при x=7.При каком значении аргуменнта обращается в ноль функции y=f(x+3) - f(x)?
Давайте разберёмся с вашим вопросом шаг за шагом.
У нас есть квадратный трёхчлен \( f(x) \), который можно записать в общем виде как \( f(x) = ax^2 + bx + c \), где \( a, b, c \) — это коэффициенты.
Линейная функция \( y = f(x+1) - f(x) \) представляет разность значений функции в точках \( x+1 \) и \( x \).
Если мы подставим \( x+1 \) в функцию \( f \), получим: \[ f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x + 1) + c = ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c) \] Теперь, вычтем \( f(x) \): \[ f(x+1) - f(x) = [(ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)) - (ax^2 + bx + c)] = (2a)x + (a + b) \]
Мы знаем, что эта линейная функция обращается в ноль при \( x = 7 \): \[ (2a) \cdot 7 + (a + b) = 0 \] Это даёт уравнение: \[ 14a + a + b = 0 \implies 15a + b = 0 \implies b = -15a \]
Теперь следует найти, когда функция \( y = f(x+3) - f(x) \) равна нулю. Аналогично мы можем вычислить: \[ f(x+3) = a(x+3)^2 + b(x+3) + c = a(x^2 + 6x + 9) + b(x + 3) + c \] Таким образом: \[ f(x+3) - f(x) = [ax^2 + 6ax + 9a + bx + 3b + c] - [ax^2 + bx + c] = 6ax + 9a + 3b \]
Подставим \( b = -15a \): \[ f(x+3) - f(x) = 6ax + 9a + 3(-15a) = 6ax + 9a - 45a = 6ax - 36a \] Упрощаем: \[ 6a(x - 6) = 0 \]
Это уравнение равно нулю, когда \( x - 6 = 0 \) или \( x = 6 \).
Таким образом, функция \( y = f(x+3) - f(x) \) обращается в ноль при значении аргумента \( x = 6 \).
