В прямоугольном треугольнике с острым углом α катеты равны cos α и 2sin α. Найдите квадрат меньшего катета. Ответ выразите в виде несократимой обыкновенной дроби.

В прямоугольном треугольнике обозначим катеты как \( a \) и \( b \), где \( a = \cos \alpha \) и \( b = 2 \sin \alpha \). Нам нужно определить, какой из катетов является меньшим.

Для этого сравним катеты:

1. Поскольку \(\cos \alpha \) и \(2 \sin \alpha\) имеют разные коэффициенты, начнем с анализа их значений. Зная, что \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) положительны в первом квадранте (для острых углов), можем рассмотреть соотношение:

\[ 2 \sin \alpha = 2 \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \]

2. Чтобы определить, какой из катетов меньше, мы можем провести сравнение по всем значениям α от 0 до \(\frac{\pi}{2}\). Важно помнить, что максимальное значение \(\sin \alpha\) равно 1, а \(\cos \alpha\) будет максимальным, когда \(\alpha = 0\), то есть катеты будут равны при \(\alpha = 0\).

3. Проанализируем значение при некоторых ключевых точках:

   • При \(\alpha = \frac{\pi}{4}\), \(\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
   • Подставляем: \[ a = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad b = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \] Здесь \( a < b \).

4. Общий случай:

   • Для любого значения \(\alpha\) (где \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\)), уменьшая \(\alpha\), \(\cos \alpha\) увеличивается, а \(2 \sin \alpha\) тоже будет расти, но с постоянным коэффициентом.
   • Легко заметить, что при малых значениях \(\alpha\) \( \cos \alpha\) всегда меньше \( 2 \sin \alpha\).

Таким образом, всегда выполняется неравенство \( \cos \alpha < 2 \sin \alpha \), значит, меньшим катетом будет \( a = \cos \alpha \).

Чтобы найти квадрат меньшего катета, вычисляем:

\[ a^2 = (\cos \alpha)^2 \]

Учитывая, что:

\[ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \]

Таким образом, квадрат меньшего катета в несократимой дроби выглядит как:

\[ \cos^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{1} \]

Этот результат можно записать в виде обыкновенной несократимой дроби:

\[ \boxed{\frac{\cos^2 \alpha}{1}} \]

Так как для конкретного значения \(\alpha\) дробь не может быть сокращена.