В прямоугольном треугольнике с острым углом катеты равны 5 cos a и sin a. Найдите квадрат меньшего катета. Ответ выразите в виде несократимой обыкновенной дроби.

В прямоугольном треугольнике с острым углом, где катеты равны \(5 \cos a\) и \(\sin a\), нам нужно найти квадрат меньшего катета.

Для начала определим, какой из катетов меньше. Зависимость между катетами и углом \(a\) помогает это выяснить:

1. Катет \(AC = 5 \cos a\)
2. Катет \(BC = \sin a\)

Сравним значения катетов. Поскольку \(0 < a < \frac{\pi}{2}\) (острый угол), используем следующие свойства тригонометрических функций:

• \(\sin a\) всегда меньше или равно \(1\).
• \(\cos a\) также всегда меньше или равно \(1\), но при \(a = 0\) оно равняется \(1\), следовательно \(5 \cos a\) будет больше \(1\).

Теперь можем определить, какой из катетов меньше, для этого сравним \(5\cos a\) и \(\sin a\):

• Если \(5 \cos a < \sin a\): Это возможно только при больших значения \(a\), но максимум \(\sin a\) - это \(1\), таким образом, \(5 \cos a < 1\), что невозможно для \(\cos a > 0\).

• Если \(5 \cos a > \sin a\): Это гораздо вероятнее, учитывая, что максимум для \(\sin a\) - это \(1\), и, следовательно, \(5 \cos a\) обычно больше.

Поэтому, скорее всего, меньшим катетом будет \(\sin a\).

Теперь найдем квадрат меньшего катета:

\[ (\sin a)^2 \]

Таким образом, нам нужно подставить:

\[ \sin^2 a \]

Однако нам нужно выразить это в виде несократимой обыкновенной дроби. Мы знаем, что:

\[ \sin^2 a = \frac{(1 - \cos(2a))}{2} \]

Тем не менее, формально нам не обязательно дать дробное значение, но как окончательный ответ:

Квадрат меньшего катета равен \((\sin a)^2\), а число в простом виде, зависит от угла a. Для конкретного числового значения понадобился бы угол \(a\).

Основной ответ: \( \sin^2 a\).