Квадратный трёхчлен f(x). Известно что линейная функция у=f(x+1) -f(x) обращается в ноль при х=8.при каком значении аргумента обращается в ноль функция у=f(x+3) - f(x)?

Чтобы решить задачу, начнем с того, что квадратный трёхчлен имеет вид

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

где \( a \), \( b \) и \( c \) — некоторые коэффициенты.

Дано, что линейная функция \( y = f(x + 1) - f(x) \) обращается в ноль при \( x = 8 \). Сначала найдем выражение для \( f(x + 1) \):

\[ f(x + 1) = a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x + 1) + c = ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c) \]

Теперь, подставляем это в выражение для \( y \):

\[ y = f(x + 1) - f(x) = [ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)] - [ax^2 + bx + c] \]

Упрощая, получаем:

\[ y = (2a)x + (a + b) \]

Теперь линейная функция \( y = (2a)x + (a + b) \) обращается в ноль, когда:

\[ (2a) \cdot 8 + (a + b) = 0 \]

Это уравнение можно переписать как:

\[ 16a + a + b = 0 \implies 17a + b = 0 \implies b = -17a \]

Теперь перейдем к выражению \( y = f(x + 3) - f(x) \):

\[ f(x + 3) = a(x + 3)^2 + b(x + 3) + c = a(x^2 + 6x + 9) + b(x + 3) + c \] \[ = ax^2 + (6a + b)x + (9a + 3b + c) \]

Теперь подставляем это в выражение для \( y \):

\[ y = f(x + 3) - f(x) = [ax^2 + (6a + b)x + (9a + 3b + c)] - [ax^2 + bx + c] \] \[ = (6a + b - b)x + (9a + 3b) \] \[ = 6ax + (9a + 3b) \]

Чтобы найти, при каком \( x \) эта функция обращается в ноль, приравняем к нулю:

\[ 6ax + (9a + 3b) = 0 \] \[ 6ax = - (9a + 3b) \]

Подставим \( b = -17a \):

\[ 6ax = - (9a + 3(-17a)) = - (9a - 51a) = -(-42a) = 42a \]

Получаем:

\[ x = \frac{42a}{6a} = 7 \]

Таким образом, функция \( y = f(x + 3) - f(x) \) обращается в ноль при \( x = 7 \).