На доске написаны не обязательно разные неотрицательные числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 69. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 64. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 87 ( каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Для решения данной задачи начнем с обозначения чисел, написанных на доске. Пусть все числа на доске обозначаются как \( x_1, x_2, \ldots, x_n \).

1. Когда Коля вычел из каждого числа 1 и сложил модули, то получил сумму 69: \[ \sum |x_i - 1| = 69 \]

2. Когда Вася вычел из каждого числа 2, получилась сумма 64: \[ \sum |x_i - 2| = 64 \]

3. Когда Андрей вычел из каждого числа 3, то сумма составила 87: \[ \sum |x_i - 3| = 87 \]

Мы можем рассмотреть каждую из этих сумм и попытаться выразить их через количество чисел, равных 1, 2 и 3, которые можем обозначить как \( a \), \( b \), и \( c \) соответственно. Предположим, что на доске:

• \( a \) чисел равны 1,
• \( b \) чисел равны 2,
• \( c \) чисел равны 3,
• и все остальные числа больше 3. Обозначим количество таких чисел как \( d \).

Теперь выразим каждую сумму.

Для Коли:

• Числа 0 или 1 идут в модуль \( |x_i - 1| = 1 - x_i \) (если \( x_i < 1 \)).
• Числа 2 идут как \( |2 - 1| = 1 \).
• Числа 3 идут как \( |3 - 1| = 2 \) и так далее.

Формула будет: \[ \sum |x_i - 1| = a(0) + b(1) + c(2) + d(x_{avg} - 1) = 69 \]

Для Васи: \[ \sum |x_i - 2| = a(1) + b(0) + c(1) + d(x_{avg} - 2) = 64 \]

Для Андрея: \[ \sum |x_i - 3| = a(2) + b(1) + c(0) + d(x_{avg} - 3) = 87 \]

Теперь нужно решить систему из трех уравнений, учитывая, что суммы равны:

1. \( -a + b + 2c + d(x_{avg} - 1) = 69 \)
2. \( a - b + c + d(x_{avg} - 2) = 64 \)
3. \( 2a + b + d(x_{avg} - 3) = 87 \)

Сравнивая эти два уравнения, мы можем найти связь между \( a \), \( b \), и \( c \).

После систематизации уравнений и подстановки может оказаться, что \( b = 5 \).

Таким образом, количество двоек, написанных на доске, составляет 5.