В треугольнике KNA угол A равен 90°, KA = 28, tg K = 15/7√15. Найдите KN.

Для решения задачи сначала определим, какие элементы треугольника KNA известны. Мы знаем, что угол A равен 90°, и длина стороны KA равна 28.

Также нам дан тангенс угла K:

\[ \tg K = \frac{15}{7\sqrt{15}}. \]

Тангенс угла K может быть выражен как отношение противолежащей стороны к прилежащей:

\[ \tg K = \frac{AN}{KA}. \]

Обозначим:

• AN — противолежащая сторона,
• KA — прилежащая сторона, равная 28.

Подставим известные значения в формулу тангенса:

\[ \tg K = \frac{AN}{28} = \frac{15}{7\sqrt{15}}. \]

Теперь мы можем выразить AN через KA и tg K:

\[ AN = KA \cdot \tg K = 28 \cdot \frac{15}{7\sqrt{15}}. \]

Для расчета AN сначала упростим выражение:

\[ AN = 28 \cdot \frac{15}{7\sqrt{15}} = 4 \cdot 15 \cdot \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{60}{\sqrt{15}}. \]

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{15}\):

\[ AN = \frac{60\sqrt{15}}{15} = 4\sqrt{15}. \]

Теперь у нас есть длина стороны AN. Следующий шаг — найти длину стороны KN с помощью теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике KNA:

\[ KN^2 = KA^2 + AN^2. \]

Подставим известные длины:

\[ KN^2 = 28^2 + (4\sqrt{15})^2. \]

Вычислим:

\[ 28^2 = 784, \] \[ (4\sqrt{15})^2 = 16 \cdot 15 = 240. \]

Теперь сложим эти значения:

\[ KN^2 = 784 + 240 = 1024. \]

Чтобы найти KN, извлечем квадратный корень:

\[ KN = \sqrt{1024} = 32. \]

Таким образом, длина стороны KN равна 32.

Ответ: KN = 32.